Мера тесноты. Индекс Фехнера.


Мерой тесноты линейной корреляционной связи, свободной до известной степени от вида закона распределения и даже от наличия некоторого (до 5% от объема выборки) количества грубых промахов является индекс Фехнера (2.3). Для его определения вместо таблицы двумерного распределения необходимо вычислить таблицу знаков и . Если обозначить количество совпадающих знаков через V, а количество несовпадающих – через Читать далее

Таблица контингенции


Другим показателем ассоциации является тетрахорический коэффициент rmem. Он также вычисляется при альтернативной группировке числового материала. Предпосылкой его применения является нормальное распределение генеральной совокупности. Тетрахорический коэффициент вычисляется по формуле: . (2.9)

Корреляционные и регрессионные уравнения по методу Чебышева


Конечной целью статистического корреляционного анализа является установление корреляционного (когда обе случайные величины имеют центрированный и нормированный вид) или регрессионного (когда обе случайные величины даны в произвольном исчислении) уравнения. Сделать это можно несколькими способами, из которых наиболее удобны метод Чебышева и метод наименьших квадратов. Пояснения будем вести на примере выборки большого объема сначала для метода Чебышева.

Способ определения уравнения регрессии


П.Л. Чебышев предложил достаточно простой и удобный способ определения уравнения регрессии по найденным моментам различного порядка, корреляционному отношению и коэффициенту корреляции. Способ предполагает предварительно найти корреляционное уравнение приближенного условного основного момента порядка hX в виде (2.24)

Уравнение регрессии


Пример 1. По результатам измерений, записанных в табл.1.1, найдем уравнение регрессии между случайными величинами X1 (в дальнейшем просто X) и Y. Р е ш е н и е: Для начала строим таблицу двумерного распределения (табл.2.1) и находим все ее компоненты.

Парная выборка малого объема


На практике часто встречаются случаи, когда парная выборка имеет небольшой объем, не позволяющий применить классический метод Чебышева для доказательства существования корреляционной связи и определения уравнения регрессии. В этом случае рекомендуется прибегать к моделированию по МНК, однако такое моделирование будет иметь смысл только в том случае, когда твердо установлено наличие между исследуемыми случайными величинами значимой корреляционной Читать далее

Коэффициент корреляции между скоростью напыления резисторов


Пример 2. Определить коэффициент корреляции между скоростью напыления резисторов и коэффициентом термостабилизации КТС по результатам измерения 16 партий пластин (табл.2.4) и найти уравнение регрессии между ними.

Степень однородности электрофизических параметров


Пример 3. Определить степень однородности электрофизических параметров на площади пластины при производстве кристаллов ИМС. Р е ш е н и е: Поскольку технологический процесс (ТП) производства кристаллов ИМС является ярким примером групповой технологии, т.е. такой технологии, когда все кристаллы на пластине одновременно подвергаются одинаковому воздействию, то следовало бы ожидать в итоге получения параметров одинаковой величины Читать далее

Метод наименьших квадратов


Суть метода наименьших квадратов (МНК) заключается в том, чтобы по экспериментальным данным подобрать такую теоретическую кривую, у которой (2.34) где — теоретические, а — экспериментальные значения кривой в точках . Решая такую систему нормальных уравнений можно получить параметры реального уравнения регрессии.

Параболическое сглаживание (метод Чебышева). Равноотстоящие значения аргумента.


На практике часто встречаются случаи, когда необходимо найти уравнение какой-либо переменной (случайной величины) от другой случайной величины, числовые значения которой равноотстоящие друг от друга, то есть, соблюдается равенство X2 — X1=X3 — X2=…=Xn — Xn-1= DX . (2.38) Это могут быть задачи об изменениях цен, урожая, количества осадков и т.п. по годам или любые другие Читать далее

Неравноотстоящие значения аргумента


В экспериментальной работе случается так, что некоторые данные в определённые моменты времени измерить нельзя (или забыли, или получился грубый промах и т.п.). Тогда в череде равноотстоящих аргументов исчезает чёткая последовательность xi=1, 2, …, n по числам натурального ряда и образуются как бы «дыры». При таком положении дел воспользоваться методикой расчёта, приведённой в подразделе 2.5.1, нельзя, Читать далее

Построение таблицы исходных данных и ее первичная обработка


В практике научных работ нередки случаи, когда объект исследования характеризуется множеством показателей, которые можно измерить и зафиксировать, но нельзя произвольно изменять. Такие задачи встречаются при исследовании технологических процессов производства изделий, показателей состояния организма людей, химических и физико-механических показателей сельскохозяйственной продукции и т.п. Для фиксации цифровых значений таких показателей и упорядочения первичной собранной информации удобно использовать Читать далее

Сокращение размерности факторного пространства


Перед проведением работ по получению математической модели во всех случаях рекомендуется сократить первоначальный список факторов до возможного минимума, так как с ростом числа факторов трудоемкость моделирования растет как степенная функция. Отсев факторов можно производить по двум критериям: факторы незначимые, то есть не влияющие на целевую функцию и внесенные в первоначальный список факторов ошибочно (некоторые методы Читать далее

Корреляционная матрица


Корреляционная матрица представляет собой симметричную квадратную матрицу размером M*M, где М – число исследуемых факторов, главная диагональ которой заполнена единицами (или нулями для удобства дальнейшего анализа), а недиагональные элементы представляют собой меру тесноты связи между парой факторов (коэффициент корреляции, корреляционное отношение, модифицированный индекс Фехнера и т.д.). Другими словами, для заполнения корреляционной матрицы необходимо найти меру Читать далее

Построение корреляционных ядер


Задача выбора одного фактора из плеяды – неформальная задача и решать ее надо всеми возможными методами с учетом мнения специалистов (например технологов исследуемого процесса) лучше всего экспертными методами. Это значит, что в обязательном порядке надо сопоставлять корреляционные плеяды, полученные на основе анализа корреляционной матрицы, составленных не только из коэффициентов корреляции, но и корреляционных отношений, и Читать далее

Примеры


П р и м е р 1. В табл.3.1. приведен фрагмент таблицы исходных данных для 13 факторов и 130 объектов исследования. Построить корреляционные плеяды и сократить, если возможно, размерность факторного пространства. Р е ш е н и е: Для построения корреляционных плеяд предварительно необходимо найти корреляционную матрицу. Поскольку большинство факторов распределены по нормальному закону, то Читать далее

Расслоенный (ступенчатый) эксперимент


Каждый параметр (фактор) изучаемого явления (объекта, продукции, технологического процесса и т.п.), который, по мнению исследователя, имеет слишком большой размах число­вых значений, может быть проанализирован с точки зрения характера вносимых в распреде­ление возмущений, а также с точки зрения локализации источников этих возмущений. С этой це­лью следует использовать один из методов дисперсионного анализа – так называемый метод Читать далее

Пример 3


Пример 3. Рассмотрим конкретный числовой пример о влиянии групп иерархических производственных факторов на разброс величин диффузионных резисторов по данным табл. 3.4. Р е ш е н и е: Ее обработка начинается с расчета дисперсий по строкам , которые помогут в установ­лении однородности выборки (воспроизводимости результатов измерений) по крите­рию Кохрена

Оценка точности и стабильности технологического процесса


Результаты расслоенного эксперимента могут быть использованы для оценки точности и стабильности технологического процесса и/или отдельных технологических операций. Под точностью технологического процесса (операции) понимают свойство ТП, обу­славливающее близость действительных и номинальных значений параметров производимой продукции, а степень этой близости задается в виде области номинала, ограниченной грани­цей нормы.

Пример 4


Пример 4. Для иллюстрации сказанного рассмотрим результаты расслоенного экспери­мента, проведенного для технологического процесса изготовления кристаллов ИМС одного типа 533 серии. Были измерены 213 электрофизических и электрических параметров по 5 тес­товым ячейкам 120 пластин, взятых случайным образом из 20 разных партий. Так как рассло­енный эксперимент может проводиться только для случайных величин, распределенных по нормальному закону распределения, Читать далее

Построение таблицы независимых (слабокоррелированных) факторов


Конечной целью статистического моделирования является нахождение оптимальных условий работы исследуемого объекта, что в большинстве случаев невозможно без получения математической модели этого объекта. Сложность вычислений адекватной модели по пассив­ным многомерным данным существенно зависит от размерности факторного пространства, а информационная емкость модели самым тесным образом зависит от качества выбранных для моде­лирования параметров (факторов) исследуемого объекта. Именно стремление Читать далее

Пример 5.


Пример 5. По данным примера 1 и с учетом особенностей отбора из корреляционных плеяд рис.3.2 отобраны для дальнейшей работы факторы Х1, Х3, Х5, Х7, Х8, Х9 и Х11. Для проверки правильности отбора составлена новая корреляционная матрица (табл.3.7), которая свидетельствует, что максимальная мера тесноты связи между отобранными факторами не превышает 0.42, что по условиям образования плеяд Читать далее

Организация экспертизы. Метод прямого ранжирования


Эффективность управления большими системами в значительной степени зависит от качества решений, принимаемых в сложных ситуациях на основе оценок и мнений специалистов, то есть, на основе экспертных оценок. Экспертные оценки могут явится важным источником информации при решении задач управления, формирования целевой функции управляемых объектов, выборе влияющих переменных, определяющих характер протекающих в них процессов, и т. п.

Метод опроса


Метод опроса в значительной степени определяется особенностями исследуемого процесса, числом экспертов, располагающих необходимой информацией, а также временем и средствами, имеющимися в распоряжении исследовательской группы. Под методом опроса мы будем подразумевать метод составления анкеты, число вопросов в анкете и число повторных опросов, позволяющих скорректировать анкету на основе предыдущих опросов.

Ранжировки


Степень связи между несколькими ранжировками оценивается коэффициентом конкордации (коэффициентом согласия). Коэффициент конкордации определяет согласованность экспертов при ранжировании n объектов по степени обладания некоторым свойством Х. Пусть имеется n объектов 1,2, …,i, …,n, в разной степени обладающих свойством Х, и пусть m экспертов ранжируют эти объекты по свойству Х. В табл. 4.1. приведены сводные данные по Читать далее

Метод прямого ранжирования


Пример 1. Методом прямого ранжирования выявить факторы, существенно влияющие на параметр оптимизации (процент выхода годных изделий) в ходе технологического процесса гальванического меднения печатных плат. Р е ш е н и е: Экспертное оценивание проводилось по следующим этапам. 1. Определение состава экспертных групп.

Метод парных сравнений


На практике встречаются случаи, когда исследователи затрудняются расположить объекты в порядке возрастания или убывания признака (например, когда число объектов превышает 15 – 20). В таких случаях, даже если и удается получить ранжировки, нельзя быть уверенным в их достоверности, поскольку сами эксперты не уверены в своих оценках. Тогда суммарную ранжировку можно получить другими путями, например методом Читать далее

Матрица парных сравнений


Пример 2. В таблице представлена обобщенная матрица парных сравнений n=5 объектов, полученная путем сложения матриц парных сравнений m=10 экспертов. Здесь же по приведены суммы по строкам и столбцам суммарной матрицы и ранжировка (последняя строка таблицы), полученная путем расположения объектов в порядке убывания сумм по строкам (или возрастания по столбцам). Рассчитаем коэффициент согласия экспертов и оценим Читать далее

Ранговая корреляция


В результате формализации данных экспертными методами получается упорядоченный ряд, состоящий из рангов. Будем считать ранги случайными числами и введем для них статистику связи. Показателем связи ранжированных рядов может служить коэффициент ранговой корреляции. Пусть n объектов ранжированы сначала по степени обладания свойством Х (ранги обозначим хi), а затем по степени обладания свойством Y (ранги обозначим yi). Читать далее

Производство печатных плат


Пример 3. При производстве печатных плат (ПП) потребовалось установить связь между коэффициентом паяемости и сроком годности плат, покрытых защитным сплавом. Для этого были проранжированы срок годности Х и коэффициент паяемости Y для различных образцов ПП n=12 Параметры Ранги Ранги срока годности, xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 — Читать далее