Сравнение нескольких выборочных дисперсий


Иногда в статистических расчетах приходится иметь дело с несколькими выборками, относительно которых надо решить вопрос об однородности их эмпирических дисперсий. Другими словами, надо решить вопрос, в одинаковых ли условиях (с одинаковой ли точностью, погрешностью) получены выборки и, следовательно, можно ли сравнивать их между собой.

Для проверки гипотезы об однородности эмпирических дисперсий следует пользоваться критерием Кохрена, который основан на законе распределения отношения максимальной эмпирической дисперсии clip_image002max к сумме всех дисперсий, то есть

G = clip_image004. (1.34)

Это распределение имеет степени свободы n1=n–1 (где n – объем одной выборки) и n2= k, (где k – число выборок) и меняется в пределах 0 < G < 1. Важным условием применения критерия Кохрена является одинаковый объем n во всех k выборках. Затем по выбранному уровню значимости q и степеням свободы n1 и n2 входим в таблицу критических значений (табл.П.6. Приложения) и определяем Gтабл, (q;n1;n2). Если вычисленное значение G ? Gтабл,, то принимается нулевая гипотеза H0: clip_image006 об одинаковости (однородности, статистической неразличимости) всех эмпирических дисперсий. В этом случае можно считать, что любая выборка имеет среднюю дисперсию S2 = (1/k)clip_image008. Если выполняются соотношение G>Gтабл,, то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная H1: clip_image010, то есть, максимальная дисперсия существенно отличается от остальных.

В случае, когда приходится решать вопрос об однородности эмпирических дисперсий нескольких выборок неодинакового объема из нормально распределенных генеральных совокупностей, следует прибегать к критерию Бартлетта

Q = clip_image012, (1.35)

где C = 1 + [1 / 3(k-1)] clip_image014 — поправочный коэффициент;

clip_image016— средневзвешенная дисперсия; clip_image018 — число степеней свободы всех выборок; clip_image020 и clip_image022 — дисперсия и число степеней свободы j-й выборки.

Поскольку критерий Бартлетта Q распределяется по закону c2, то вычисленное по формуле (1.35) значение сравнивается с табличным c2табл,(q; nk) или clip_image024(Pдов,;clip_image026k), где nk = k – 1(табл.П.1). Если Q < c2табл,, то принимается нулевая гипотеза H0: clip_image028clip_image030. В этом случае впредь вместо любой дисперсии можно использовать средневзвешенную clip_image032 с ее числом степеней свободы n. Если Q >c2табл,, или Q < 0, то принимается альтернативная гипотеза H1, которая утверждает, что по крайней мере одна из дисперсий (либо самая маленькая, либо самая большая) существенно отличаются от остальных.