Сравнение центров нескольких выборочных распределений


Если встречается задача о сравнении центров нескольких выборочных распределений, то ее можно решить поочередным сравнением центра каждой выборки со всеми другими с помощью критериями Стьюдента. Однако эта достаточно длительная процедура может быть сокращена с помощью какого-либо метода множественных сравнений. Рассмотрим один из наиболее простых таких методов – метод Тьюки.

Пусть имеются k выборок одинакового объема n, имеющих свои средние арифметические clip_image002 и эмпирические дисперсии clip_image004. Тогда в случае, если выборки взяты из нормальных совокупностей, существует некоторый интервал clip_image006, внутри которого центры выборок статистически неразличимы

Tclip_image008= Q(q, k, clip_image010)clip_image012, (1.31)

где Q(q; k;n) = R/S = (clip_image014maxclip_image014[1]min)/S – стьюдентизированный размах (табл.П.4. Приложения); S2 = (1/k)clip_image017 — средняя выборочная дисперсия с n= k(n – 1) числом степеней свободы.

Пример 6. Имеются 6 выборок (каждая объемом n = 4) величин одной и той же продукции, взятые от 6 различных установок, с параметрами

Параметр выборки

Номер установки, j

1

2

3

4

5

6

clip_image019

4,94

5,32

5,52

5,16

5,78

5,1

Sj2

0,038

0,039

0,033

0,04

0,036

0,042

Определить, все ли установки дают продукцию одинакового номинала,

Р е ш е н и е: Найдем среднюю выборочную дисперсию S2=0,228/6=0,038, по табл.П.4 стьюдентизированный размах Q (5%; 6; 18) = 4,495, Тогда величина интервала T?S по формуле (1.31)

Tclip_image021 = 4,495clip_image023 = 0,438.

Сопоставление найденного интервала с данным выборок позволяет заключить, что установки 1, 2, 4, 6 с одной стороны и 3, 5 с другой дают однородную продукцию внутри каждой группы, но обе группы дают продукцию существенно разную по номиналу.

1.4.4. Доверительный интервал для дисперсии.

Теоретическими трудами доказано, что выражение nS2/s2 (где n – объем выборки, S2 – оценка дисперсии, а s2 – дисперсия генеральной совокупности) имеет c2 распределение с n=n–1 степенями свободы, На рис.1.5 схематически показано, что площадь подинтегральной кривой от clip_image025 до clip_image027 равна

P(clip_image029< clip_image031 <clip_image033) = 1– q,

где q – суммарная ошибка (двусторонний критерий значимости).

clip_image036

Рис.1.5. Пример распределения c2

Это выражение после очевидного преобразования дает границы доверительного интервала

P(nS2/clip_image033[1]< clip_image0392 < nS2/clip_image029[1]) =1–q. (1.32)

Пример 7. Определить границы существования дисперсии и СКО генеральной совокупности по условию примера 2 при уровне значимости q = 5%.

Р е ш е н и е. Из табл.П.1 Приложения выписываем значения clip_image041= 6,26 при вероятности 0,025 и clip_image027[1]= 27,49 при вероятности 0,975 (суммарная ошибка 0,05 или 5%). Тогда по формуле (1.32) имеем 0,549 < s2 < 2,409. Откуда 0,741 < s < 1,552.