Рассмотрим несколько примеров применения критерия Стьюдента


Пример 1. Две установки должны напылять резисторы одинаковой величины. При измерениях получены следующие выборки (в Омах):

Установка 1: 1095, 1025, 938, 915, 1012, 980, 975, 990, 1000, 947;

Установка 2: 942, 938, 1010, 1030, 973, 915, 990, 970, 925, 1045, 1100, 1020, 985, 1082, 1065, 1090

Определить, одинаково ли налажены установки.

Р е ш е н и е сводится к проверке нулевой гипотезы H0: clip_image002=clip_image004 против альтернативной H1: clip_image0061clip_image008clip_image006[1]2. Находим параметры выборочных распределений

clip_image002[1]= 987,7 Ом; S2 = 2587,1 Ом2; n1 = 10;

clip_image004[1] = 1005,0 Ом; S2 = 3605,7 Ом2 n2 = 16;

Затем по формуле (1.27) находим средневзвешанную дисперсию

S2 = (9,425871 + 15,436057) / (9 + 15) = 3223,7

с n = 9 + 15 = 24 степенью свободы и расчетное значение критерия Стьюдента

t = clip_image013,

По табл.П.2. находим tтабл,(5%; n= 24) = 2,0639. Так как t<tтабл,, то нулевая гипотеза H0 о равенстве центров распределения принимается (с доверительной вероятностью Рдов=0,95 можно считать, что обе установки налажены одинаково).

Пример 2. Установка напыления должна быть настроена на номинал 15 кОм, При измерениях получилась следующая выборка: 13,2; 14,7; 12,9; 15,3; 12,7; 13,8; 14,1; 12,8; 14,8; 13,5; 14,2; 16,2; 14,1; 13,9; 14,3; 15,1 кОм. Определить правильность настройки установки.

Р е ш е н и е сводится к проверке нулевой гипотезы H0:clip_image006[2]= 15,0 кОм против альтернативной H1:clip_image006[3]clip_image008[1]15,0 кОм. Находим параметры выборочного распределения: clip_image006[4]= 14,1 кОм; S2 = 0,9427 кОм; n = 16. Так как величину clip_image006[5] надо сравнивать с константой C, то формула (1,27) преобразуется

clip_image015.

По табл.П.2. находим tтабл,(5%; 15) = 2,1314. Так как t > tтабл,, то нулевая гипотеза H0 о равенстве центра выборочного распределения напыляемых резисторов величине 15 кОм отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1 (с доверительной вероятностью Рдов=0,95 можно считать, что установка для напыления настроена неправильно).

Пример 3. При нахождении математической модели исследуемого объекта один из коэффициентов искомого уравнения регрессии равен b=0,45. Определить, следует ли его включать в уравнение, если эмпирическая дисперсия опытов S2 = 0,0175, а объём выборки n=24.

Р е ш е н и е сводится к проверке нулевой гипотезы H0: b = 0 против альтернативной H1: bclip_image008[2]0, т,к, любой коэффициент должен быть исключен из уравнения только в том случае, если он равен нулю. Проверка нулевой гипотезы сводится к формуле примера 2 при C =0. Тогда

t = clip_image017clip_image019 = 16,6648.

По табл.П.2 находим tтабл,(5%; 23) = 2,0687. Так как t> tтабл,, то нулевая гипотеза H0 о равенстве величины b нулю отвергается и принимается альтернативная гипотеза H1. Таким образом, этот коэффициент, безусловно, надо включить в уравнение регрессии (математическую модель).

Пример 4. По данным примера 2 определить наличие в выборке грубых промахов.

Р е ш е н и е. Грубой ошибкой измерения может быть только одно из крайних значений – минимальное или максимальное. Поскольку к минимальному значению тесно примыкают еще несколько элементов выборки, а максимальное стоит особняком, примем X*=16,2 кОм. Ранее было вычислено, что clip_image006[6]=14,1кОм, a S2 =0,9427 кОм2. Тогда нормированное отклонение clip_image022

clip_image022[1]= clip_image024 = 2,16,

а нижнее значение критерия (1,28)

tкр (5%; 14) = clip_image026 = 1,92.

Так как t>tкр (5%; 14), то для дальнейшего анализа вычисляем верхнее значение критерия

tкр (0,1%; 14) = clip_image028 = 2,87.

Так как tкр (5%; 14) <t<tкр (0,1%; 14), то величину X* можно оставить в выборке, а можно удалить. Для уточнения найдем еще один промежуточный критерий

tкр (1%; 14) = clip_image030 = 2,41.

Таким образом, в силу t<tкр (1%; 14) шансы за то, чтобы оставить X* в выборке, явно перевешивают шансы за то, чтобы его удалить.

Пример 5. Определить границы существования истинного значения математического ожидания по условию примера 2 при доверительной вероятности Pдов = 0,95.

Р е ш е н и е. Так как для q = (1-Pдов)100% = 5% уровня значимости и степени свободы n=15 величина критерия Стьюдента tтабл, (5%; 15) = 2,1314, а общая формула принятия нулевой гипотезы в случае сравнения с константой C = M[Х]

t = clip_image032 clip_image034 tтаб,(q,n), (1.29)

то отсюда легко вывести

clip_image006[7]tтабл, clip_image036clip_image034[1] M[X] clip_image034[2] clip_image006[8] + tтабл,clip_image036[1]. (1.30)

Подставляя числовые значения, получим

12,77 < M[X] < 14,23 кОм.

Последний пример имеет самостоятельное теоретическое значение. С помощью выражения (1.30) определен интервал, в котором с вероятностью Pдов (или с ошибкой q=(1-Pдов)100%) находится неслучайное математическое ожидание генеральной совокупности, причем величина интервала зависит также от объема выборки. Такой интервал называется доверительным интервалом или интервальной оценкой, и его величина может служить мерой точности нахождения математического ожидания.

Вообще говоря, доверительным интервалом clip_image041для параметра q называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью P =1–q, близкой к единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра q, т.е. clip_image043.

Границы доверительного интервала зависят от объема выборки.