В рассмотренных ранее видах контрольных карт каждая мгновенная выборка анализировалась независимо от других выборок. Это удобно с точки зрения упрощения расчетов, но не всегда оправдано с точки зрения статистической теории. Доказано, что чем больше количество обрабатываемых данных, тем точнее можно провести статистический анализ исследуемой случайной величины. Этот подход и реализован в контрольных картах кумулятивных сумм выборочных средних (в дальнейшем — КК), где анализируются не средние мгновенных выборок, а их суммы.

Данный вид контрольных карт может быть применен при выполнении следующих условий:

Контролируемый параметр подчиняется нормальному закону, параметры которого – дисперсия и среднее арифметическое, известны.

Известно среднее значение контролируемого параметра Х₀, при котором обеспечивается наилучшее качество продукции.

Дисперсия контролируемого параметра постоянна и равна S².

Известны предельно допустимые средние значения контролируемого параметра – Х_в (Х_н) для одностороннего контроля и Х_в, Х_н для двустороннего, при которых процесс считается разлаженным и требует переналадки.

Вводится нормированная величина разладки .

Для того чтобы сформировать план контроля, следует предварительно задать следующие величины:

а) среднюю длину серии для налаженного процесса L₀ (или риск излишней наладки ?);

б) среднюю длину серии для разлаженного процесса L₁ (или риск незамеченной разладки ?).

Для определения объема мгновенной выборки n, используются данные, приведенные в табл. 2.1. Извлеченные из таблицы значения величины , позволяют, зная величину , определить значение n.

Для нахождения границ регулирования необходимо вычислить значение величины h. С этой целью из табл. 2.2 извлекается значение величины , на основе которой, при известных n и ? вычисляется значение h. Тогда значение верхней (R_в) и нижней (R_н) трехсигмовых границ регулирования определяется следующим образом:

R_в=Х₀ + h; R_н=Х₀ — h.

Таблица 2.1

Значения для карт кумулятивных сумм средних

L1	L0
80	100	120	150	200	250	300	400	500	600	800	1000
1,2	3,20	3,28	3,35	3,42	3,51	3,58	3,64	3,74	3,79	3,86	3,91	3,99
1,3	3,94	3,02	3,09	3,17	3,26	3,33	3,39	3,48	3,54	3,60	3,66	3,73
1,4	2,76	2,84	2,90	2,98	3,07	3,13	3,19	3,28	3,33	3,39	3,46	3,52
1,5	2,60	2,68	2,75	2,82	2,92	2,98	3,09	3,13	3,18	3,23	3,30	3,36
1,6	2,47	2,55	2,61	2,68	2,78	2,84	2,90	2,92	3,03	3,08	3,16	3,22
1,7	2,36	2,44	2,50	2,57	2,66	2,72	2,77	2,85	2,91	2,96	3,03	3,09
1,8	2,27	2,34	2,40	2,47	2,56	2,61	2,67	2,75	2,80	2,85	2,92	2,99
1,9	2,18	2,25	2,31	2,33	2,46	2,53	2,58	2,65	2,70	2,76	2,83	2,89
2,0	2,10	2,17	2,23	2,29	2,37	2,44	2,49	2,56	2,62	2,66	2,73	2,79
2,2	1,97	2,04	2,09	2,15	2,23	2,29	2,34	2,41	2,46	2,51	2,57	2,63
2,4	1,86	1,93	1,98	2,04	2,11	2,17	2,22	2,28	2,34	2,38	2,44	2,49
2,6	1,75	1,82	1,87	1,93	2,00	2,06	2,10	2,17	2,22	2,26	2,31	2,37
2,8	1,68	1,73	1,78	1,84	1,90	1,96	2,00	2,06	2,12	2,15	2,21	2,26
3,0	1,59	1,65	1,70	1,75	1,82	1,87	1,92	1,98	2,02	2,06	2,11	2,16
3,5	1,43	1,48	1,53	1,58	1,65	1,70	1,74	1,79	1,84	1,87	1,93	1,97
4,0	1,29	1,35	1,39	1,45	1,51	1,55	1,59	1,65	1,69	1,72	1,77	1,80
4,5	1,19	1,24	1,28	1,34	1,40	1,44	1,47	1,53	1,57	1,60	1,65	1,68
5,0	1,10	1,15	1,20	1,25	1,30	1,34	1,38	1,43	1,47	1,50	1,55	1,58
5,5	1,02	1,07	1,12	1,16	1,22	1,26	1,30	1,34	1,38	1,41	1,45	1,49
6,0	0,96	1,01	1,05	1,10	1,15	1,19	1,23	1,27	1,31	1,33	1,37	1,41
7,0	0,85	0,90	0,94	0,99	1,04	1,07	1,11	1,15	1,18	1,21	1,25	1,28
8,0	0,77	0,82	0,85	0,90	0,95	0,98	1,01	1,06	1,09	1,11	1,15	1,18
9,0	0,70	0,74	0,78	0,82	0,87	0,91	0,94	0,98	1,01	1,03	1,07	1,10
10,0	0,64	0,68	0,72	0,76	0,81	0,84	0,87	0,92	0,95	0,97	1,00	1,03

Предупреждающие верхняя (K_в) и нижняя (K_н) двухсигмовые границы находятся как: K_в=X₀ + ; K_н= X₀ — .

Рассмотрим для определенности случай одностороннего контроля, когда задана верхняя граница регулирования. При использовании КК после очередной наладки ТП через определенные интервалы времени извлекаются выборки объемом n и вычисляют значения выборочных средних .

Вычисленное значение средних сравнивается со значением предупредительной границы регулирования. Образование кумулятивных сумм начинается, если:> K_в. (2.1)

Таблица 2.2

Значения для карт кумулятивных сумм средних

L1	L0
80	100	120	150	200	250	300	400	500	600	800	1000
1,2	0,70	0,74	0,78	0,82	0,88	0,92	0,96	1,00	1,04	1,08	1,10	1,14
1,3	0,86	0,90	0,94	0,98	1,02	1,06	1,10	1,16	1,20	1,22	1,26	1,30
1,4	0,96	1,00	1,04	1,08	1,14	1,18	1,22	1,26	1,30	1,34	1,38	1,42
1,5	1,04	1,10	1,14	1,18	1,24	1,28	1,32	1,36	1,40	1,44	1,48	1,52
1,6	1,12	1,16	1,22	1,26	1,32	1,36	1,40	1,44	1,48	1,52	1,56	1,60
1,7	1,20	1,24	1,28	1,34	1,40	1,44	1,48	1,52	1,56	1,60	1,64	1,68
1,8	1,26	1,32	1,36	1,40	1,46	1,50	1,54	1,60	1,64	1,66	1,72	1,76
1,9	1,32	1,38	1,42	1,46	1,52	1,56	1,62	1,66	1,70	1,74	1,80	1,84
2,0	1,33	1,44	1,48	1,54	1,60	1,64	1,68	1,74	1,78	1,82	1,86	2,00
2,2	1,48	1,54	1,60	1,64	1,70	1,76	1,80	1,86	1,90	1,94	1,98	2,04
2,4	1,58	1,64	1,70	1,74	1,80	1,86	1,90	1,96	2,00	2,06	2,12	2,16
2,6	1,68	1,74	1,78	1,84	1,90	1,96	2,00	2,08	2,12	2,16	2,22	2,28
2,8	1,76	1,82	1,88	1,94	2,00	2,06	2,12	2,18	2,24	2,28	2,34	2,40
3,0	1,86	1,90	1,96	2,02	2,10	2,16	2,20	2,26	2,34	2,38	2,44	2,50
3,5	2,02	2,10	2,16	2,22	2,30	2,38	2,42	2,50	2,56	2,60	2,70	2,74
4,0	2,20	2,28	2,34	2,40	2,50	2,58	2,62	2,72	2,80	2,84	2,92	2,98
4,5	2,34	2,44	2,50	2,60	2,68	2,76	2,82	2,92	2,98	3,04	3,14	3,20
5,0	2,50	2,58	2,66	2,76	2,84	2,94	3,00	3,10	3,16	3,22	3,32	3,40
5,5	2,64	2,72	2,80	2,90	3,02	3,10	3,16	3,26	3,34	3,42	3,52	3,60
6,0	2,74	2,85	2,93	3,04	3,16	3,24	3,32	3,42	3,50	3,58	3,68	3,76
7,0	2,98	3,10	3,18	3,28	3,42	3,52	3,60	3,72	3,82	3,88	4,00	4,10
8,0	3,18	3,30	3,40	3,52	3,66	3,76	3,86	4,00	4,10	4,18	4,30	4,40
9,0	3,33	3,50	3,62	3,74	3,90	4,00	4,10	4,26	4,36	4,44	4,56	4,66
10,0	3,54	3,68	3,80	3,95	4,12	4,25	4,32	4,50	4,60	4,70	4,84	4,94

Вычисление кумулятивных сумм производится по формуле:

. (2.2)

Выборке, для которой выполняется неравенство (2.1), присваивается номер m=1. Полученные в результате вычислений значения наносятся на карту в виде точки.

Вычисление контрольных сумм прекращается, если:

а) S_m>h. Это свидетельствует о разладке ТП; необходимо произвести его наладку и заново начать использование контрольной карты.

б) S_m<0. В этом случае образование контрольных сумм возобновляется при выполнении неравенства (2.1).

Если применяется нижняя односторонняя граница регулирования, то образование кумулятивной суммы начинается при выполнении неравенства:

< K_н, (2.3)

а сама сумма вычисляется по формуле: .

Вычисление кумулятивной суммы прекращается, если:

а) S_m>-h. Это означает, что ТП разлажен, необходимо провести его наладку.

б) S_m>0. Образование суммы возобновляется при выполнении неравенства (2.3).

При двустороннем контроле когда заданы как верхняя, так и нижняя границы, вышеописанные правила применяются в зависимости от того, какая из них – верхняя или нижняя — нарушены. Вычисление кумулятивных сумм, в этом случае прекращается, если:

а) S_m>h или S_m<-h. Это говорит о разладке ТП, который необходимо наладить и заново начать использование контрольной карты.

б) S_m меняет знак – вычисление кумулятивных сумм возобновляется при выполнении неравенств (2.1) или (2.3).

Проиллюстрируем статистическое регулирование ТП с применением КК с помощью примера.