Расчёт информационной емкости модели.


Лабораторная  работа 5.

Ц е л ь  р а б о т ы — определение информационной емкости для выявления наилучшей математической модели среди нескольких однотипных или полученных разными методами на одном и том же числовом массиве.

1  ОБЩИЕ  ПОЛОЖЕНИЯ

1.1  Предпосылки  метода

Как известно, на одном и том же массиве исходных данных можно построить несколько адекватных математических моделей, причем необязательно с одним и тем же перечнем значимых факторов. В силу адекватности все эти модели имеют право на существование, однако, точность описания ими выходной величины различна. Предлагается о качестве модели судить по количеству информации, которое она может дать, то есть по информационной емкости.

Представим исследуемый объект контроля в виде двух систем: системы факторов X и системы выходных показателей качества Y. В случае, когда не имеется математического описания взаимодействия этих систем, энтропии их равны H(X) и H(Y), а энтропия объединенной системы будет максимальна и равна  После получения сведений о характере взаимодействия обеих систем X и Y в виде математической модели , «остаточная» энтропия и есть информация

                              (5.1)

Согласно известной теореме, энтропия объединённой системы (в данном случае математической модели) равна энтропии одной из её составных частей плюс условная энтропия второй части относительно первой, то есть

                                         (5.2)

где  — условная энтропия модели системы  относительно X.

Подставляя (5.2) в (5.1), получим выражение для полной информации о системе Y, содержащейся в системе X, с помощью модели системы

                                               (5.3)

Это означает, что количество информации, получаемое за счёт знания характеристик взаимодействия (математических моделей) систем Y и X равно разности  двух энтропий: энтропии системы, состояние которой описывается случайной величиной Y с определенным рядом распределения (его можно представить в виде гистограммы опытных данных Y1, Y2,…,
Yj,…, Yn; Yj — величина центра j-го разряда гистограммы, n — число разрядов), и условной энтропии модели системы  при условии, что система X
находится в состоянии Zki, то есть каждый k-й эффект (), включенный в модель, находится в i-м состоянии ().При этом значение Zki есть величина центра i-го разряда гистограммы эффекта Zk (напомним, что под эффектом Zk  понимаются вошедшие в модель факторы, их квадраты, их парные взаимодействия и т.д.).

Определим слагаемые, входящие в выражение (5.3). Величина  есть энтропия системы выходных показателей качества исследуемого объекта, которая принимает различные состояния, характеризующиеся вероятностью попадания случайной величины Yi в соответствующий разряд гистограммы распределения. Рассчитывается эта величина по известной формуле на основе результатов измерений

                                   (5.4)

где  — вероятность нахождения случайной величины Y в j-м состоянии.

Система X является системой, объединяющей комплекс факторов (входных величин), каждый из которых принимает случайное значение в некотором диапазоне варьирования и характеризуется своим рядом распределения. Таким образом, состояние системы X
определяется набором состояний (значений) каждого из параметров Zk. Здесь, по-видимому, уместно будет переобозначить исходную систему X
через Z, построенную по всем эффектам, вошедшим в модель. При этом полная условная энтропия модели рассчитывается следующим образом

                                       (5.5)

где      qk
— нормирующий множитель, характеризующий вероятность соответствующего состояния  в Zk;

 — условная энтропия модели системы  при условии, что эффект Zk находится в состоянии Zki.

В свою очередь

                        (5.6)

где      — условная вероятность того, что модель системы  примет значение  при условии, что соответствующий эффект Zk находится в состоянии Zki;

 — условная вероятность того, что модель системы  примет значение  при нахождении Zk в состоянии Zki;

lk — количество состояний Zk в совместном распределении (количество разрядов гистограммы);

nk — количество состояний значений модели  при совместном распределении с эффектом Zk (также количество разрядов гистограммы).

Так как число разрядов гистограммы для непрерывных величин обычно задается в достаточно узких пределах (рекомендуется при N от 100 до 1000 измерений иметь от n от 10 до 15), то без потери информации следует положить nk = n = const. Величины lk либо задаются характером плана эксперимента (варьированием факторов на двух, трех, и т. д. уровнях), либо должны подчиняться вышеприведенному правилу. Поэтому в большинстве случаев можно также считать lk = l = const.

Подставляя (5.6) в (5.5) с учетом замечания получим

                                  (5.7)

Тогда выражение для полной информации с учетом (5.4) и (5.7) примет вид

 (5.8)

Полученное выражение можно использовать в качестве критерия для оценки информационной емкости математической модели.

1.2 Расчетные  формулы

Для практического использования выражения (5.8) необходимо установить порядок определения входящих в него вероятностей. Это можно сделать на основе теоремы Бернулли, которая позволяет заменять вероятности событий их частостями. Тогда

                               (5.9)

где      Nj — число попаданий опытных значений выходной величины Y
в j-й разряд гистограммы;

Nki — число попаданий значений выходной величины , вычисленной по модели, в i-ю строку таблицы совместного с эффектом Zk распределения, причем все экспериментальные значения факторов заменяются на значения центров соответствующих разрядов;

;  — число попаданий значений выходной величины Y, вычисленной по модели, одновременно в i-ю строку и j-й столбец таблицы совместного с эффектом Zk распределения;

N — число опытов.

Нормирующий множитель qk можно интерпретировать как нормированный вклад k-го эффекта в уменьшение энтропии системы, который зависит от степени влияния Zk на Y и становится тем больше, чем больше это влияние. Степень тесноты связи между Zk и Y, вообще говоря, отражена в найденной математической модели в виде величин коэффициентов регрессии bi. Для любых ортогональных планов, у которых коэффициенты регрессии играют роль весов (ММСБ, практически любые планы активных экспериментов), можно записать

                                                                           (5.10)

что и характеризует вклад фактора в относительных единицах. Однако для МНКО оценки коэффициентов bi являются смешанными оценками, а независимыми являются оценки вспомогательных коэффициентов Ak, которые, однако же, тоже не могут быть использованы для определения нормирующего множителя qk непосредственно, так как они выражают веса не самих факторов, а некоторых вспомогательных ортогональных полиномов yk(Z). В качестве выхода из положения предлагается использовать отношение

                                                   (5.11)

где tk — критерий Стьюдента, по величине которого определяется значимость оценки коэффициента Ak, а, следовательно, и эффекта Zk. Правомерность такого подхода подтверждается тем, что величина tk есть отношение оценки коэффициента Ak к его дисперсии, то есть сама по себе является нормированной величиной, и, следовательно, четко определяет соотношение вкладов факторов.

С учетом сказанного, выражение (5.8) примет вид более удобный для практических расчетов

                     (5.12)

Следует сказать, что точность оценки информационной емкости модели существенно зависит от числа разрядов гистограммы и двумерных таблиц совместного распределения. Поэтому применение формулы (5.12) для методов планирования эксперимента в случае варьирования факторов на двух или трех уровнях (сюда относятся ПФЭ, ДФЭ, ММСБ и др.) дает более грубый результат, чем в случае непрерывного распределения факторов, что характерно для МНКО.

1.3 Расчет  производственного примера

Рассчитать информационную емкость модели, найденной в лабораторной работе № 3.

Р е ш е н и е. Возможен непосредственный подсчет искомой информационной емкости модели по формуле (5.12).

Для расчета первого слагаемого в выражении (5.12) построим гистограмму распределения выходной величины Y W лабораторной работы № 3 (рисунок 5.1), на которой указано количество попаданий Nj случайной величины W в j-й разряд.


Тогда величина =2,7973 будет подсчитана из равенств:

Для расчета второго слагаемого выражения (5.12) были построены двумерные распределения  в виде  по модели (3.5) с каждым фактором Zk, входящим в эту модель. Удобнее всего это делать с помощью серии промежуточных таблиц двумерного распределения (таблица 5.1).

 = 1,580 – 0,130x1 – 0,119x2 – 0,052x3
– 0,072x1x2+ 0,077x1x3                 (3.5)

Поскольку Nij есть число на пересечении i-й строки и j-го столбца, а Ni есть сумма чисел Nij в каждой i-й строке, то легко можно определить энтропию

,

величина которой заносится в соответствующий столбец итоговой таблицы 5.2. Коэффициенты  рассчитываются по весовым коэффициентам модели (3.5).

Таблица 5.1. Расчёт энтропии модели

Zk

i

Гистограмма модели

Nki

1,270

1,343

1,415

1,487

1,560

1,632

1,705

1,777

1,849

x1

-1

9

16

1

28

21

75

0,4310

-0,3671

-0,4755

-0,0830

-0,5307

-0,5142

-0,8493

-1,7998

0

8

4

11

6

5

34

0,1954

-0,4912

-0,3632

-0,5267

-0,4416

-0,4067

-0,4356

+1

35

11

4

15

65

0,3736

-0,2088

-0,4337

-0,2475

-0,4882

-0,5149

x2

-1

20

6

11

7

44

0,2529

-0,5170

-0,3920

-0,5000

-0,4219

-0,4630

-2,0671

0

11

4

4

10

1

14

44

0,2529

-0,5000

-0,3145

-0,3145

-0,4858

-0,1241

-0,5257

-0,5727

+1

8

9

12

22

86

0,4942

-0,5278

-0,3187

-0,3408

-0,3965

-0,5031

-1,0314

x3

-1

14

11

2

17

27

21

92

0,5287

-0,4133

-0,3664

-0,1201

-0,4501

-0,5191

-0,4856

-1,2453

-2,2489

0

17

8

2

13

7

6

53

0,3046

-0,5262

-0,4118

-0,1784

-0,4973

-0,3857

-0,3558

-0,7174

+1

4

2

11

12

29

0,1667

-0,3942

-0,2661

-0,5305

-0,5268

-0,2862

x1x2

-1

9

27

22

58

0,3333

-0,4171

-0,5135

-0,5305

-0,4870

-1,8931

0

11

12

4

12

7

5

14

65

0,3736

-0,4337

-0,4500

-0,2475

-0,4500

-0,3462

-0,2846

-0,4771

-1,0047

+1

35

3

6

7

51

0,2931

-0,3727

-0,2404

-0,3632

-0,3932

-0,4014

x1x3

-1

14

11

9

10

44

0,2529

-0,5257

-0,5000

-0,4683

-0,8458

-0,5007

-2,1110

0

17

10

4

25

7

11

74

0,4253

-0,4875

-0,3902

-0,2275

-0,5289

-0,3218

-0,4088

-1,0057

+1

4

2

7

22

21

56

0,3218

-0,2720

-0,1717

-0,3750

-0,5295

-0,5306

-0,6046

Вероятность р(Yj) в пределе определяется отношением Nj к общему количеству измерений N = 171. Подставив полученные значения в первое слагаемое выражения (9.18) получим H(Y)=4,23 бит. Для расчета второго слагаемого выражения (9.18) были построены двумерные распределения  в виде  по модели (9.4) с каждым фактором , входящим в эту модель. Удобнее всего это делать с помощью серии промежуточных таблиц двумерного распределения, одна из которых для  построена для наглядности ниже.

Поскольку Nij
есть число на пересечении i-й строки и j-го столбца, а Ni
есть сумма чисел Nij в каждой i-й строке, то легко можно определить энтропию

величина которой заносится в соответствующий столбец итоговой

табл. 9.3. Коэффициенты  рассчитываются по  критериям

ин  из  самых старых и разработанных методов моделирования по пассивным  данным — метод наименьших квадратов (МНК), который базируется на  подборе  такого  уравнения регрессии, чтобы сумма квадратов разности между уравнением и экспериментальными данными была наименьшей из всех возможных. Оценки коэффициента регрессии в МНК ищутся по формуле

                                                         (4.1)

где  B — матрица искомых коэффициентов регрессии; (XТ X)-1 — матрица, обратная матрице системы нормальных уравнений; XТ Y
— матрица произведений транспонированной матрицы факторов X и матрицы откликов Y.

Для произвольной системы факторов задача нахождения обратной матрицы  является довольно громоздкой даже для ЭВМ, причем трудоемкость стремительно  возрастает  с  увеличением числа факторов. Одновременно существует еще одна проблема — при признании какого-либо из найденных коэффициентов bk незначимым следует, исключив фактор Xk, всю вычислительную процедуру проделать заново с самого начала. Проблема существенного упрощения процедуры определения коэффициентов  регрессии  и  отсеивания незначимых факторов может быть решена путем предварительной ортогонализации факторов, т.е. подбором для каждой регрессионной задачи своей специальной системы  линейно-независимых функций Y(X) таких, чтобы матрица системы нормальных уравнений (XTX) была единичной. Другими словами, каждая  функция Ykj(X) из системы линейно-независимых функций Y(X) выбирается  так, чтобы она была ортогональна ко всем предыдущим и нормирована  на  заданном множестве экспериментальных точек Xkj с весами wkj. Тогда матрица (XT X)-1
также будет единичной и выражение (4.1) упрощается

                                                               (4.2)

Теперь  не только нет необходимости искать обратную матрицу, но и можно отбрасывать незначимые коэффициенты регрессии без пересчета остальных.

Выбор  системы  функций Y(X) осуществляется с использованием ортогональных полиномов Чебышева таким образом, чтобы кривая Y(X) разлагалась по выбранной системе функций в ряд, быстро сходящийся в  каждой точке Xkj. При этом система функций должна быть определена на том интервале значений переменной Xk, на котором расположены экспериментальные точки. Следовательно,  метод наименьших квадратов с предварительной ортогонализацией (МНКО) сводится к тому, что связь между выходной величиной Y и факторами Xl

Y = f(X1,X2,…,Xl,…,Xn
),      l = 1,…,n ,

будем искать в виде следующего полинома, включающего эффекты факторов и их взаимодействий:

                      (4.3)

где n — количество рассматриваемых факторов; q = 0,…, p — степень полинома, представляющего соответствующий фактор.

Однако такой полином, как указывалось выше, трудно найти без предварительной  ортогонализации, поэтому промежуточной целью будет поиск вспомогательного полинома следующего вида

                                                          (4.4)

Здесь  m + 1 — число членов уравнения регрессии. Имея в виду, что при  обработке пассивной контрольно-измерительной информации степень каждого  фактора p на практике не превышает 2, а число взаимодействий ограничивается парным, то общее число членов уравнения регрессии не будет превышать m + 1 £ 1 + 2n + . При этом для  удобства  следует производить замену переменных и вместо эффектов  факторов Xl
и их взаимодействий вводить единую переменную Zk .

Необходимо отметить, что степень полинома Yk(Z) совпадает с номером  столбца k
рассматриваемых эффектов Zk в матрице исходных данных. Тогда  именно на полиномы Yk(Z) следует наложить условия ортогонализации

                   ( 4.5)

Решением системы уравнений (4.5) будет достаточно простая итеративная процедура

              (4.6)

где

                       (4.7)

1.2  Расчетные  формулы  и  алгоритм  определения  модели    

Задача определения оценок коэффициентов bk уравнения (4.3) сводится к нахождению коэффициентов Аk при ортогональных полиномах в (4.4) исходя из  условий  минимизации  остаточной суммы квадратов

                              (4.8)

Дифференцируя (4.8) по каждому коэффициенту Аk и приравнивая результат дифференцирования к нулю, получаем систему (m+1) линейных уравнений, решением которой будет выражение для расчета Аk

                                      (4.9)

Из полученной формулы видно, что все коэффициенты Аk определяются независимо друг от друга, так как рассматриваются на основе ортогональных полиномов  различных  порядков. Следовательно, вопрос о включении в уравнение (4.4) каждого коэффициента Аk проверяется по критерию Стьюдента. Для этого предварительно рассчитывается среднеквадратическое отклонение очередного коэффициента Аk.

                                                       (4.10)

где S2 {Y} — средняя (или средневзвешенная) дисперсия выходной величины  по  неповторяющимся  строкам плана (может быть определена специальными дублирующими опытами в любой точке изучаемой области факторного пространства, лучше всего в центре). В крайнем случае для оценки средней дисперсии можно взять эмпирическую дисперсию распределения выходной величины, деленную на 4 (минимальное число равнодействующих составляющих, которые могут дать нормальное распределение).

Величина S{Ak} подставляется в выражение для расчетного критерия Стьюдента

                                    (4.11)

При выполнении условия (4.11) коэффициент Аk признается значимым и должен быть включен в уравнение (4.4), в противном случае — нет.

Проверка адекватности уравнения (4.4) экспериментальным данным осуществляется как обычно, с помощью критерия Фишера. В случае положительного  решения можно перейти к отысканию оценок bk в уравнении (4.3).

Простейшим методом нахождения  bk
является метод подстановки соответствующих  конкретных  значений yk (Z) в (4.4) и приведения подобных  членов.  Выражения,  стоящие перед каждым Zk,  являются искомыми оценками коэффициентов  bk. Результат может быть представлен в рекуррентном виде

Следует обратить внимание, что в выражении (4.12) в связи с обратным  отсчетом номера k = m,…,0 индексы отношения xik также изменены на обратные по сравнению с выражением (4.5). Другими словами, принцип старшинства индексации для первого сомножителя числителя по-прежнему соблюдается.

Анализ особенностей МНКО как в теоретическом плане, так и в плане практического  применения  позволяет  обратить внимание на следующее.

1. В  условиях пассивного эксперимента оценки коэффициентов bk в отличие от Аk
являются смешанными. Однако по сравнению с МНК предложенный  метод  позволяет точнее оценить независимый вклад каждого эффекта в соответствующий  коэффициент bk. Это обстоятельство  обусловливает более  высокую чувствительность МНКО по сравнению с МНК, которая тем выше, чем больше количество исследуемых факторов, причем в этот список могут входить как сильно-, так и слабодействующие факторы.

2. Эффективность метода зависит от порядка следования факторов (эффектов) друг за другом при расчете коэффициентов модели. В случае расположения их в порядке убывания по степени значимости эффективность метода возрастает. Поэтому целесообразно перед применением МНКО предварительно расположить исследуемые факторы (эффекты) в порядке убывания значимости (степени влияния) по отношению к целевой функции. Для этого можно рекомендовать воспользоваться предварительной моделью, полученной с помощью ММСБ или какого либо другого метода.

3. Существенной особенностью и преимуществом МНКО является то обстоятельство, что в силу перехода данных в заведомо ортогональную систему координат можно получать оценки коэффициентов и для коррелированных факторов и для квадратов членов.

4. Другой существенной особенностью и преимуществом МНКО является то, что  для получения модели не требуется слишком длинной таблицы исходных данных как в ММСБП, лишь бы координаты точек факторного пространства были бы достаточно далеки друг от друга.

5. Модель МНКО является обычным алгебраическим выражением, коэффициенты её представляют собой смешанные оценки и не являются, как в ММСБ, весами соответствующих факторов.

 

1.3 Расчет  производственного примера

Таблица 4.1 – Результаты пассивного эксперимента

j

X1

X2

X3

Y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11.2

12.0

12.0

7.5

10.2

13.0

13.6

12.9

10.2

11.6

15

18

15

9

16

16

16

15

16

17

106

170

120

150

160

139

145

120

110

140

35.0

51.1

54.8

28.3

40.6

44.3

45.5

35.9

49.2

52.0

11.42

15.3

136.0

43.57

Таблица 4.2 – Вспомогательные коэффициенты

   i

k

0

1

2

1

11.42

2

15.3

0.944

3

136.0

–1.192

0.691

Найдем математическую модель с помощью МНКО по результатам пассивного эксперимента, представленным в таблице 4.1. Обозначаем через Z1=X1, Z2 = X2, Z3 = X3. Остальные факторы признаем незначимыми и их не рассматриваем.

Расчеты, проведенные на ЭВМ, дают следующие результаты:

 = 11.42; x21 = 0.9440;  = =15.3;  x31 = -1.1915;  = 136.0; x32 = 0.6910.

Тогда ортогональные полиномы можно подсчитать по формуле (4.5), конкретные числовые значения см. в таблице 4.3.

Так как дисперсия опытов  неизвестна, то ее придется определять из дисперсии  распределения S2{Y} как

= S2
{Y} / 4 = 72,03 / 4 = 18,006

Тогда по формулам (4.9), (4.10) и (4.11) определяем:

A0 = 43,57;                   S{A0} = 1,342;                      t0 = 32,466;

A1
=  2,268;                  S{A1} = 0,794;                      t1
=  2,856;

A2
=  2,746;                  S{A2} = 0,821;                      t2
=  3,345;

A3
=  0,0144;                S{A3} = 0,067;                      t3
=  0,215.

Таблица 4.3 — Ортогональные полиномы и проверка модели на адекватность

j

y1(Z)

y2(Z)

y3(Z)

Y

(Y)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.22

0.58

0.58

-3.92

-1.22

1.58

2.18

1.48

-1.22

0.18

-0.092

2.152

-0.848

-2.600

1.852

-0.792

-1.358

-1.697

1.852

1.530

-30.05

32.82

-15.10

13.68

22.06

4.40

11.11

-14.03

-27.94

3.04

35.0

51.1

54.8

28.3

40.6

44.3

45.5

35.9

49.2

51.0

42.82

50.79

42.56

27.54

45.89

44.98

44.78

42.27

45.89

48.18

61.13

0.09

149.90

0.58

27.97

0.46

0.51

40.53

10.96

7.95

28.536

26.671

4011.47

Табличное значение критерия Стьюдента tт (5 %; 9) = 2,26. Поэтому в модель войдут только три члена

 = 43,57 + 2,268 y1(Z)+ 2,746 y2(Z).

Проверка модели типа (4.4) на адекватность дает неравенство

= 42.868;

= =2.37<Fт (5%; nад = 7; nр = 9) = 3.32,

что позволяет перейти к расчету коэффициентов bk:

b3 = 0;    b2 = A2=2.746;            b1=A1
A2x21 = — 0.324;    b0 = A0  — b1x10 — b2x20 = 5.256.

Таким образом, искомая модель имеет вид

= 5,256 — 0,324X1 + 2,746X2.

В справедливости полученной модели, помимо всех приведенных доказательств, можно убедиться путем подстановки в нее строк таблицы 4.1 и сравнения полученных результатов с экспериментальными данными.

2  ПОРЯДОК   ПРОВЕДЕНИЯ   РАБОТЫ

2.1  Для проведения лабораторной работы в качестве исходной таблицы данных следует принять таблицу, полученную в результате выполнения лабораторной работы 4 из Части 1 настоящего пособия.

2.2 Определить ортогональные полиномы и вспомогательные коэффициенты xki для всех трех факторов и их взаимодействий в порядке убывания значимости по результатам расчетов лабораторной работы 3 Части 2 настоящего пособия. Для удобства дальнейшей работы численные значения полиномов необходимо свести в таблицу, подобную таблице 4.3.

2.3 Определить коэффициенты Ak для всех факторов и их парных взаимодействий.

2.4 Определить значимость найденных коэффициентов Ak. В качестве дисперсии опытов принять величину  из лабораторной работы 3 Части 2 настоящего пособия или одну четвертую дисперсии распределения выходной величины Y, как окажется удобнее.

2.5 Доказать адекватность полученной модели.

2.6 Перевести найденную модель в декартовы координаты.

3 СОДЕРЖАНИЕ   ОТЧЕТА

Отчет о лабораторной работе должен содержать ответы на все пункты задания с приведением необходимых формул, расчетов, таблиц. При подготовке к защите необходимо ознакомиться с контрольными вопросами и продумать результаты работы, обратив особое внимание на те пункты, в которых наблюдается расхождение с результатами предыдущих лабораторных работ.

4  КОНТРОЛЬНЫЕ   ВОПРОСЫ

4.1 Какая основная идея лежит в основе метода наименьших квадратов?

4.2 В чем достоинства и недостатки метода наименьших квадратов?

4.3 Какова основная идея, лежащая в основе МНКО? Какими особенностями МНК она вызвана?

4.4 Почему в МНКО необходимо делать замену переменных?

4.5 Какие свойства должны иметь ортогональные полиномы?

4.6 В чем заключается итеративная процедура вычисления ортогональных полиномов?

4.7 Почему в МНКО необходимо получать промежуточную модель в координатах ортогональных полиномов?

4.8 Как в МНКО произвести отсеивание незначимых факторов?

4.9 Как доказать адекватность модели?

4.10 Каким образом можно произвести обратный переход из координат ортогональных полиномов в декартовы координаты?

4.11 Зачем необходимо отыскивать модель в именованных единицах измерения (в декартовой системе координат)?

4.12 Каковы свойства (отличия) моделей в ортогональных полиномах и декартовых координатах?

4.13 Достоинства и недостатки МНКО.

5  РЕКОМЕНДУЕМАЯ   ЛИТЕРАТУРА

5.1 Долгов Ю.А. Статистическое моделирование; Учебник для вузов. — Тирасполь; РИО ПГУ, 2002. С. 183-192.

5.2 Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1976. — 279 с.

5.3 Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных /Пер.с англ. Под ред. Э.К.Лецкого, Е.В.Марковой. — М.: Мир, 1980. — 610 с.

5.4 Долгов Ю.А., Шестакова Т.В. Метод моделирования технологических процессов серийного производства // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 1992. — № 4 — 1993. — № 1. — С. 23 — 25.

Лабораторная  работа 5

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ  СИМПЛЕКСНЫЙ  МЕТОД  ПЛАНИРОВАНИЯ

ЭКСПЕРИМЕНТА  ПРИ  ПОИСКЕ  ОПТИМАЛЬНЫX  УСЛОВИЙ

Цель работы: изучить методы поиска оптимальных условий работы исследуемого объекта при помощи последовательного симплексного метода планирования эксперимента как в научных исследованиях, так и в производственных условиях.

1.  ОБЩИЕ   ПОЛОЖЕНИЯ

1.1.  Последовательный  симплексный  метод

Последовательный симплексный метод относится к методам поиска экстремума  целевой функции, применение которого обеспечивает минимально возможное  число  опытов  при определении направления движения к экстремуму и связано с весьма незначительными по объему вычислениями. Метод основан на активном эксперименте и может использоваться как в практике научных исследований, так и в управлении технологическими процессами.

Симплексом называется простейшая выпуклая геометрическая фигура. Под  n-мерным симплексом в n-мерном пространстве понимают фигуру, образованную множеством (n+1) точек, не принадлежащих одновременно ни одному (n-1)-мерному подпространству данного n-мерного пространства. Эти (n+1) точки называются вершинами симплекса. Число вершин симплекса всегда на единицу больше размерности n
пространства. В двумерном пространстве (т.е. плоскости) симплексом является любой треугольник, в трехмерной пространстве — любая треугольная пирамида (тетраэдр).

Симплекс называют регулярным, если расстояния между всеми точками,  образующими симплекс (т.е. между вершинами симплекса), одинаковы.

1.2.  Построение  начального  симплекса

Рассмотрим один из способов задания координат вершины начального симплекса. Для его построения одну из вершин помещают в начало координат, а  остальные располагают таким образом, чтобы ребра, исходящие из первой вершины, образовывали одинаковые углы с соответствующими координатными осями (рис.5.1).

Рис.5.1. Начальный симплекс                    Рис.5.2. Виды движения центра симплекса

                с одной вершиной                                       в направлении градиента

                в начале координат

Координаты  вершин симплекса в этом случае могут быть представлены следующей матрицей (табл.5.1):

Таблица 5.1

Матрица координат вершин

Номер

Координаты вершин

вершины j

X1

X2

X3

Xn-1

Xn

1

2

3

.

.

.

n

n+1

0

p

q

.

.

.

q

q

0

q

p

.

.

.

q

q

0

q

q

.

.

.

q

q

.

.

.

0

q

q

.

.

.

p

q

0

q

q

.

.

.

q

p

Здесь

Длину l ребра симплекса (т.е. расстояние между вершинами симплекса) примем равной единице (l
= 1).

Такое  построение  возможно  лишь при переходе от абсолютных значений факторов Xi
к относительным хi и при переносе начала координат в базовую точку факторного пространства . При этом за длину  ребра L в абсолютных единицах измерения можно принять расстояние  между  верхними  и нижними уровнями варьирования фактора Xi равное шагу варьирования DXi (аналогично тому, как устанавливается относительная переменная в полном факторном эксперименте), что в относительной системе всегда равно единице:

Li = Xiв
Xiн;

1.3.  Процедура  поиска  экстремума

Экспериментальное определение оптимума функции осуществляется с помощью следующей процедуры.

1.3.1. Преобразование исходных факторов с таким расчетом, чтобы изменение каждого из них на единицу приводило приблизительно к одинаковому изменению целевой величины, т. е. нахождение соответствующих значений шагов варьирования DXi.

1.3.2. Расчет координат начального симплекса по приведенному выше способу.

1.3.3. Проведение эксперимента в точках, соответствующих координатам начального симплекса, и измерение значения целевой функции.

1.3.4. Отбрасывание точки плана с наименьшим значением целевой величины и построение нового симплекса. Новый симплекс образуется оставшимися  вершинами исходного симплекса и новой вершиной, получаемой путем зеркального отображения отброшенной вершины относительно противоположной ей (n-1)-мерной грани исходного симплекса. Координаты новой точки X* рассчитываются следующим образом:

где j — номер переменной х; k
— номер вершины исходного симплекса с наименьшим значением целевой функции. Можно прогнозировать значение целевой величины в новой точке:

1.3.5.  Проведение эксперимента в новой точке  и получение соответствующего значения  целевой величины.

1.3.6.  Последовательное  перемещение  симплекса, в процессе которого на каждом шаге происходят отбрасывание вершины симплекса с наихудшим значением целевой величины и реализация опыта в новой вершине. При этом  направление движения центра симплекса колеблется около направления градиента. Два возможных вида перемещения центра симплекса представлены на рис.5.2.

1.3.7.  Если  при  перемещении симплекса на протяжении (n+1) шагов та или иная вершина сохраняет свое положение, то симплекс совершает оборот вокруг этой вершины (рис.5.3). Это означает, что либо  в данной точке находится оптимум целевой функции, либо значение целевой функции в этой вершине определено неверно. Чтобы уточнить, какая ситуация имеет здесь место, в этой точке вновь проводят эксперимент, и в дальнейшем работают с новым значением целевой величины.

1.3.8. Если оказывается, что целевая величина в новой вершине симплекса меньше, чем в остальных вершинах, то в соответствии  с  логикой  движения следует возвратиться к предыдущему симплексу. Чтобы предотвратить «зацик-

Рис.5.3. Поведение симплекса вблизи экстремума

ливание», в качестве отбрасываемой выбирают вершину, в которой целевая функция имеет величину, следующую по порядку за наихудшей вершиной симплекса. Дальнейшее движение  продолжают,  реализуя  эксперимент  в  точке,  расположенной  «зеркально» к отброшенной вершине.

1.3.9. Если новая вершина выходит за пределы допустимой области планирования, следует поступать так же, как в п.1.3.8.

1.3.10. При достижении  области  оптимума размер симплекса уменьшают (как правило, на 1/4 начальной величины).

1.3.11. Оптимум считается достигнутым, если одна и та же вершина входит в последовательные симплексы N раз, где

N = 1,65n + 0,05n2,   2 £ n £ 30.                                             (5.3)

Другим условием достижения оптимума является неравенство

где e — допустимая относительная ошибка (уровень значимости);  — среднее значение целевых функций в вершинах симплекса.

1.3.12. Если ошибка эксперимента относительно велика, целесообразно  в каждой вершине симплекса провести несколько опытов и использовать усредненное значение наблюдений целевой функции.

1.4.  Числовой  пример

Определить, при каких величинах резисторов один каскад усилителя (рис.3.1 лаб. раб. 3) дает максимальный коэффициент усиления.

Пусть базовые значения и шаг варьирования резисторов будут (кОм):

      = 100,0;         DX1 = L1 = 22,0;           =   4,5;   DX3 =  L3 =  1,2;

      = 20,0;           DX2 = L2 =  6,0;              =   1,0;  DX4 =  L4 =  0,3.

Построим начальный симплекс по процедуре, изложенной в п.1.2. Для n = 4 подсчитаем значения p и q и, переходя к именованными величинам, получим (см. табл.5.2).

Установив резисторы R1 — R4 в указанных положениях и включив установку, подадим на вход усилителя  напряжение 100 мВ частотой 2  кГц. В столбец Y запишем  коэффициенты усиления, которые получились при построчной реализации симплекса.

Таблица 5.2

Пример расчета симплекса

Номер

Координаты вершин, кОм

Отклик,

вершины, j

X1

X2

X3

X4

Yj

1

2

3

4

5

X*1            = 100.0

X*1+pL1= 120.0

X*1+qL1= 105.0

X*1+qL1= 105.0

X*1+qL1= 105.0

X*2        = 20.0

X*2+qL2= 21.3

X*2+pL2= 25.5

X*2+qL2= 21.3

X*2+qL2= 21.3

X*3        = 4.5

X*3+qL3= 4.7

X*3+qL3= 4.7

X*3+pL3= 5.6

X*3+qL3= 4.7

X*4        = 1.00

X*4+qL4= 1.06

X*4+qL4= 1.06

X*4+qL4= 1.06

X*4+pL4= 1.30

17.6

17.6

18.8

20.4

19.2

            Так  как задача заключается в достижении максимума коэффициента  усиления, то отбрасывать будем вершину с наименьшим результатом. Их в  начальном симплексе оказалось две. Отбросим любую из них, например 1-ю. По формуле (5.1) найдем координату новой (зеркальной) вершины 1 в относительных величинах

1l         0.795;  0.795;  0.795;  0.795

или, переходя к именованным величинам,

1l          117.5;  24.7;   5.35;  1.24;  19.2

Реализуя эту строку на стенде, получим коэффициент усиления 19,2. В новом  симплексе, образованном вершинами 1l, 2, 3, 4, 5, минимальным  выходом обладает вершина 2, которую и отбросим. Произведем расчет координат новой  зеркальной вершины 2l по формуле (5.1), реализуем получившуюся строку на стенде и рассмотрим новый симплекс. Последовательность его работы видим в табл.5.3.

На 10-м шаге убеждаемся, что вершина 4 не входит в новый симплекс на протяжении (n+1) = 5 шагов, т.е. симплекс сделал полный оборот вокруг нее. В этом случае согласно п.1.3.7 следует проверить значение Y в этой вершине. Проверка подтверждает правильность предыдущего измерения, поэтому продолжаем движение. После шага 13 выполняем условие (5.3) достижения оптимума (п.1.3.11), а после 14 и 15 — условие (5.4):

Таким  образом,  можно считать оптимальным и симплекс, получившийся после шага 13, и после 14, и после 15. Обычно останавливаются на том условии оптимума, которое выполняется первым.

Таблица 5.3.

Последовательность симплексов

Номер

Координаты вершин, кОм

п/п

вершины, j

X1

X2

X3

X4

Отклик, Yj

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

1l

2 l

3 l

2 ll

2 lll

5 l

1ll

2 lV

3 ll

4 l

100.0

120.0

105.0

105.0

105.0

117.5

96.3

106.9

120.3

97.0

108.0

91.0

108.5

99.0

98.3

20.0

21.3

25.5

21.3

21.3

24.7

25.1

20.7

18.9

25.1

24.6

21.0

18.7

22.0

21.9

4.50

4.70

4.70

5.60

4.70

5.35

5.50

5.90

5.30

5.50

6.50

6.40

6.70

6.70

7.60

1.00

1.06

1.06

1.06

1.30

1.24

1.27

1.37

1.20

1.28

1.17

1.20

1.12

0.90

1.13

17.6

17.6

18.8

20.4

19.2

19.2

18.8

19.6

18.8

19.2

20.8

20.8

20.8

20.8

21.2

2.  ПОРЯДОК  ВЫПОЛНЕНИЯ  РАБОТЫ

2.1. Рассчитать  координаты  вершин начального симплекса по приведенному выше способу, приняв за исходные факторы сопротивления R1, R2, R3 и R4 однокаскадного усилителя (см. рис. 3.1).

2.2. Установить рассчитанные номиналы на соответствующих резисторах.

2.3. Реализовать начальный симплекс, приняв за параметр оптимизации коэффициент усиления KУС
.

2.4. Отбросить  точку  плана  с наихудшим значением целевой функции и рассчитать координаты новой вершины симплекса.

2.5.  Реализовать эксперимент в новой точке плана, установив новые номиналы резисторов.

2.6. Дальнейший поиск проводить согласно описанной выше процедуре до тех пор, пока не будет выполнено одно из условий оптимизации.

2.7. Оценить полученные результаты.

3.  СОДЕРЖАНИЕ  ОТЧЕТА

Отчет о лабораторной работе должен содержать четкое обоснование выбора метода оптимизации, все необходимые таблицы, формулы, расчеты и комментарии к ним.

При подготовке к защите лабораторной работы необходимо ознакомиться с контрольными вопросами и продумать ответы на них.

4.  КОНТРОЛЬНЫЕ  ВОПРОСЫ

4.1. Что называется симплексом?

4.2.  Какие существуют методы задания координат начального симплекса?

4.3. Какова процедура поиска оптимума целевой функции симплексным методом?

4.4. Каковы критерии достижения оптимума?

4.5.  Каковы преимущества и недостатки симплексной оптимизации?

4.6. От чего зависит эффективность метода?

4.7. Можно ли использовать симплексный метод в случае дрейфа характеристик объекта?

4.8. Можно ли с помощью симплексного метода определить степень влияния факторов на целевую функцию?

5.  РЕКОМЕНДУЕМАЯ  ЛИТЕРАТУРА

5.1. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов  /К.Xартман, Э.Лецкий, В.Шефер и др.; Под ред. Э.К.Лецкого. — М.: Мир, 1977. — 277 с.

5.2.  Долгов  Ю.А.,  Олейник  Т.В.,  Цуркан К.В. Оптимизация технологического  процесса производства печатных плат. — Кишинев: Штиинца, 1981. — 173 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ  ТАБЛИЦЫ

Таблица П.1

Квантили распределения     c2

n

             Вероятность  P( c2)

0.95

0.90

0.75

0.50

0.25

0.10

0.05

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

30

 0.004

  0.10

  0.35

  0.71

  1.15

  1.64

  2.17

  2.73

  3.33

  3.94

  4.58

  5.23

  5.89

  6.57

  7.26

  7.96

  8.67

  9.39

10.12

10.85

14.61

18.49

 0.016

  0.21

  0.58

  1.06

  1.61

  2.20

  2.83

  3.49

  4.17

  4.87

  5.58

  6.30

  7.04

  7.79

  8.55

  9.31

10.09

10.86

11.65

12.44

16.47

20.60

  0.10

  0.58

  1.21

  1.92

  2.68

  3.46

  4.56

  5.07

  5.90

  6.74

  7.58

  8.44

  9.30

10.17

11.04

11.91

12.79

13.68

14.56

15.45

19.94

24.48

  0.46

  1.39

  2.37

  3.36

  4.35

  5.35

  6.35

  7.34

  8.34

  9.34

10.34

11.34

12.34

13.34

14.34

15.34

16.34

17.34

18.34

19.34

24.34

29.34

  1.32

  2.77

  4.11

  5.39

  6.63

  7.84

  9.04

10.22

11.39

12.55

13.70

14.85

15.98

17.12

18.25

19.37

20.49

21.60

22.72

23.83

29.34

34.80

  2.71

  4.61

  6.25

  7.78

  9.24

10.64

12.02

13.36

14.68

15.99

17.28

18.55

19.81

21.06

22.31

23.54

24.77

25.99

27.20

28.41

34.38

40.26

  3.84

  5.99

  7.82

  9.49

11.07

12.59

14.07

15.51

16.92

18.31

19.68

21.03

22.36

23.68

25.00

26.30

27.59

28.87

30.14

31.41

37.65

43.77

Таблица П.2

t-распределение Стьюдента при q = 5%

n

  t

n

   t

n

   t

n

   t

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

10

12.7060

 4.3020

 3.1820

 2.7760

 2.5706

 2.4460

 2.3646

 2.3060

 2.2622

 2.2281

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

 2.2010

 2.1788

 2.1604

 2.1448

 2.1314

 2.1190

 2.1098

 2.1009

 2.0930

 2.0860

21

22

23

24

25

30

35

40

45

50

 2.0790

 2.0739

 2.0687

 2.0639

 2.0595

 2.0420

 2.0320

 2.0210

 2.0140

 2.0080

 60

 70

 80

 90

100

200

250

300

400

500

2.0000

1.9959

1.9900

1.9870

1.9840

1.9749

1.9695

1.9679

1.9559

1.9640

Таблица П.3

Нормированная функция Лапласа

Z

Сотые доли для Z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

.0000

.0398

.0793

.1179

.1554

.1915

.2257

.2580

.2881

.3159

.3413

.3643

.3849

.4032

.4192

.4332

.4452

.4554

.4641

.4713

.4772

.4860

.4918

.4953

.4974

.4986

.0040

.0438

.0832

.1217

.1591

.1950

.2291

.2611

.2910

.3186

.3437

.3665

.3869

.4049

.4207

.4335

.4463

.4564

.4649

.4719

.4778

.4863

.4920

.4954

.4975

.4986

.0080

.0478

.0871

.1255

.1628

19.85

.2324

.2642

.2939

.3212

.3461

.3686

.3888

.4066

.4222

.4357

.4474

.4573

.4656

.4726

.4783

.4867

.4922

.4954

.4975

.4987

.0120

.0517

.0910

.1293

.16.64

.2019

.2357

.2673

.2967

.3238

.3485

.3708

.3925

.4082

.4236

.4370

.4484

.4582

.4664

.4732

.4788

.4871

.4924

.4954

.4976

.4987

.0160

.0557

.0948

.1331

.1700

.2054

.2389

.2703

.2995

.3464

.3508

.3729

.3944

.4099

.4251

.4382

.4495

.4591

.4671

.4738

.4793

.4874

.4926

.4958

.4977

.4988

.0199

.0596

.0987

.1368

.1736

.2088

.2422

.2734

.3023

.3289

.3533

.3749

.3962

.4115

.4265

.4394

.4505

.4599

.4678

.4744

.4798

.4877

.4928

.4959

.4978

.4988

.0239

.0636

.1026

.1406

.1772

.2123

.2454

.2764

.3051

.3315

.3554

.3770

.3980

.4131

.4279

.4406

.4515

.4608

.4686

.4750

.4803

.4880

.4930

.4960

.4978

.4988

.0279

.0675

.1064

.1443

.1808

.2157

.2486

.2794

.3078

.3340

.3577

.3790

.3980

.4147

.4292

.4418

.4525

.4616

.4693

.4756

.4808

.4883

.4932

.4962

.4979

.4989

.0319

.0714

.1103

.1480

.1844

.2190

.2517

.2823

.3106

.3365

.3599

.3810

.3997

.4162

.4306

.4430

.4535

.4625

.4699

.4762

.4812

.4886

.4934

.4963

.4980

.4989

.0365

.0753

.1141

.1517

.1879

.2224

.2549

.2852

.3133

.3389

.3621

.3830

.4015

.4177

.4319

.4441

.4545

.4633

.4706

.4767

.4817

.4889

.4936

.4964

.4980

.4989

Примечание: в таблице опущена целая часть чисел, которая во всех случаях равна 0.

Таблица П.4

Стьюдентизированный размах при q = 5 %

n

Число    выборок    k

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

14

16

18

20

24

30

40

60

120

¥

17.97

6.085

4.501

3.927

3.635

3.461

3.344

3.261

3.199

3.151

3.082

3.033

2.998

2.971

2.950

2.919

2.888

2.858

2.829

2.800

2.772

26.98

8.331

5.910

5.040

4.602

4.339

4.165

4.041

3.949

3.877

3.773

3.702

3.649

3.609

3.578

3.532

3.486

3.442

3.399

3.356

3.314

32.82

9.798

6.825

5.757

5.218

4.896

4.681

4.529

4.415

4.327

4.199

4.111

4.046

3.997

3.958

3.901

3.845

3.791

3.737

3.685

3.633

37.08

10.88

7.502

6.287

5.673

5.305

5.060

4.886

4.756

4.654

4.508

4.704

4.333

4.277

4.232

4.166

4.102

4.039

3.977

3.917

3.858

40.41

11.74

8.037

6.707

6.033

5.628

5.359

5.167

5.024

4.912

4.751

4.639

4.557

4.495

4.445

4.373

4.302

4.232

4.163

4.096

4.030

43.12

12.44

8.478

7.053

6.330

5.895

5.606

5.399

5.244

5.124

4.950

4.829

4.741

4.673

4.620

4.541

4.464

4.389

4.314

4.241

4.170

45.40

13.03

8.853

7.347

6.582

6.122

5.815

5.597

5.432

5.305

5.119

4.990

4.897

4.824

4.768

4.684

4.602

4.521

4.441

4.363

4.286

47.36

13.54

9.177

7.602

6.802

6.319

5.998

5.767

5.595

5.461

5.263

5.131

5.031

4.946

4.896

4.807

4.720

4.635

4.550

4.468

4.387

49.07

13.99

9.462

7.826

6.995

6.493

6.158

5.918

5.739

5.599

5.395

5.254

5.150

5.071

5.008

4.915

4.824

4.735

4.646

4.560

4.474

51.96

14.75

9.946

8.208

7.324

6.789

6.431

6.175

5.983

5.833

5.615

5.463

5.352

5.267

5.199

5.099

5.001

4.904

4.808

4.714

4.622

Таблица П.5

F-распределение Фишера при q= 5 %

n1

n2

2

3

4

6

10

15

20

30

40

60

120

¥

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

40

60

120

¥

19.0

9.55

6.94

5.79

5.14

4.74

4.46

4.26

4.10

3.98

3.89

3.81

3.74

3.68

3.63

3.59

3.55

3.52

3.49

3.47

3.44

3.42

3.40

3.39

3.37

3.35

3.34

3.33

3.32

3.23

3.15

3.07

3.00

19.2

9.28

6.59

5.41

4.76

4.35

4.07

3.86

3.71

3.59

3.49

3.41

3.34

3.29

3.24

3.20

3.16

3.13

3.10

3.07

3.05

3.03

3.01

2.99

2.98

2.96

2.95

2.93

2.92

2.84

2.76

2.68

2.60

19.3

9.12

6.39

5.19

4.53

4.12

3.84

3.63

3.48

3.36

3.26

3.18

3.11

3.06

3.01

2.96

2.93

2.90

2.87

2.84

2.82

2.80

2.78

2.76

2.74

2.73

2.71

2.70

2.69

2.61

2.53

2.45

2.37

19.3

8.94

6.16

4.95

4.28

3.87

3.58

3.37

3.22

3.09

3.00

2.92

2.85

2.79

2.74

2.70

2.66

2.63

2.60

2.57

2.55

2.53

2.51

2.49

2.47

2.46

2.45

2.43

2.42

2.34

2.25

2.17

2.10

19.4

8.79

5.96

4.74

4.06

3.64

3.35

3.14

2.98

2.85

2.75

2.67

2.60

2.54

2.49

2.45

2.41

2.38

2.35

2.32

2.30

2.27

2.25

2.24

2.22

2.20

2.19

2.18

2.16

2.08

1.99

1.91

1.83

19.4

8.70

5.86

4.62

3.94

3.51

3.22

3.01

2.95

2.72

2.62

2.53

2.46

2.40

2.35

2.31

2.27

2.23

2.20

2.18

2.15

2.13

2.11

2.09

2.07

2.06

2.04

2.03

2.01

1.92

1.84

1.75

1.67

19.4

8.66

5.80

4.56

3.87

3.44

3.15

2.94

2.77

2.65

2.54

2.46

2.39

2.33

2.28

2.23

2.19

2.16

2.12

2.10

2.07

2.05

2.03

2.01

1.99

1.97

1.96

1.94

1.93

1.84

1.75

1.66

1.57

19.4

8.62

5.75

4.50

3.81

3.38

3.08

2.86

2.70

2.57

2.47

2.38

2.31

2.25

2.19

2.15

2.11

2.07

2.04

2.01

1.98

1.96

1.94

1.92

1.90

1.88

1.87

1.85

1.84

1.74

1.65

1.55

1.46

19.4

8.59

5.72

4.46

3.77

3.34

3.04

2.83

2.66

2.53

2.43

2.34

2.27

2.20

2.15

2.10

2.06

2.03

1.99

1.96

1.94

1.91

1.89

1.87

1.85

1.84

1.82

1.81

1.79

1.69

1.59

1.50

1.39

19.4

8.57

5.69

4.43

3.74

3.30

3.01

2.79

2.62

2.49

2.38

2.30

2.22

2.16

2.11

2.06

2.02

1.98

1.95

1.92

1.89

1.86

1.84

1.82

1.80

1.79

1.77

1.75

1.74

1.64

1.53

1.43

1.32

19.4

8.55

5.66

4.40

3.70

3.27

2.97

2.74

2.58

2.45

2.34

2.25

2.18

2.11

2.06

2.01

1.97

1.93

1.90

1.87

1.84

1.81

1.79

1.77

1.75

1.73

1.71

1.70

1.68

1.58

1.47

1.35

1.22

19.5

8.53

5.63

4.36

3.67

3.23

2.93

2.71

2.54

2.40

2.30

2.21

2.13

2.07

2.01

1.96

1.92

1.88

1.84

1.81

1.78

1.76

1.73

1.71

1.69

1.67

1.65

1.64

1.62

1.51

1.39

1.25

1.00

Таблица П.6

G-распределение  Кохрена при  q = 5 %

n1

n2

2

3

4

5

6

7

8

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

0.9750

.8709

.7679

.6838

.6161

.5612

.5157

.4775

.4450

.3924

.3346

.2705

.2354

.1980

.1576

.1131

.0632

.0000

0.9392

.7977

.6841

.5981

.5321

.4800

.4377

.4027

.3733

.3264

.2758

.2205

.1907

.1593

.1259

.0895

.0495

.0000

0.9057

.7457

.6287

.5440

.4803

.4307

.3910

.3584

.3311

.2880

.2419

.1921

.1656

.1377

.1082

.0765

.0419

.0000

0.8772

.7071

.5895

.5063

.4447

.3974

.3595

.3286

.3029

.2624

.2195

.1735

.1493

.1237

.0968

.0682

.0371

.0000

0.8534

.6771

.5598

.4783

.4184

.3726

.3362

.3067

.2823

.2439

.2034

.1602

.1374

.1137

.0887

.0623

.0337

.0000

0.8332

.6530

.5365

.4564

.3980

.3535

.3185

.2901

.2666

.2299

.1911

.1501

.1286

.1061

.0827

.0583

.0312

.0000

0.8159

.6333

.5175

.4387

.3817

.3384

.3043

.2768

.2541

.2187

.1815

.1422

.1216

.1002

.0780

.0552

.0292

.0000

n1

n2

9

10

16

36

144

¥

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

¥

0.8010

.6167

.5017

.4241

.3682

.3259

.2926

.2659

.2439

.2098

.1736

.1357

.1160

.0958

.0745

.0520

.0279

.0000

0.7880

.6025

.4884

.4118

.3568

.3154

.2829

.2568

.2353

.2020

.1671

.1303

.1113

.0921

.0713

.0497

.0266

.0000

0.7341

.5466

.4366

.3645

.3135

.2756

.2462

.2226

.2032

.1737

.1429

.1108

.0942

.0771

.0595

.0411

.0218

.0000

0.6602

.4748

.3720

.3066

.2612

.2278

.2022

.1820

.1655

.1403

.1144

.0879

.0743

.0604

.0462

.0316

.0165

.0000

0.5813

.4031

.3093

.2513

.2119

.1833

.1616

.1446

.1308

.1100

.0889

.0675

.0567

.0457

.0347

.0234

.0120

.0000

0.5000

.3333

.2500

.2000

.1667

.1429

.1250

.1111

.1000

.0833

.0667

.0500

.0417

.0333

.0250

.0167

.0083

.0000

Таблица П.7

Равномерно распределенные случайные числа

10 09 73 25 33       76 52 01 35 86       34 67 35 48 76       80 95 90 91 17       39 29 27 49 45

37 54 20 48 05       64 89 47 42 96       24 80 52 40 37       20 63 61 04 02       00 82 29 16 65

08 42 26 89 53       19 64 50 93 03       23 20 90 25 60       15 95 33 47 64       35 08 03 36 06

99 01 90 25 29       09 37 67 07 15       38 31 13 11 65       88 67 67 43 97       04 43 62 76 59

12 80 79 99 70       80 15 73 61 47       64 03 23 66 53       98 95 11 68 77       12 17 17 68 33

66 06 57 47 17       34 07 27 68 50       36 69 73 61 70       65 81 33 98 85       11 19 92 91 70

31 06 01 08 05       45 57 18 24 06       35 30 34 26 14       86 79 90 74 39       23 40 30 97 32

85 23 97 76 02       02 05 16 56 92       68 66 57 48 18       73 05 38 52 44       18 62 38 85 79

63 57 33 21 35       05 32 57 70 78       90 55 35 75 48       28 46 82 87 09       83 49 12 56 24

73 79 64 57 53       03 52 96 47 78       35 80 83 42 82       60 93 52 03 44       35 27 38 84 35

98 52 01 77 67       14 90 56 86 07       22 10 94 05 58       60 97 09 34 33       50 50 07 39 98

11 80 50 54 31       39 80 82 77 32       50 72 56 82 48       29 40 52 42 01       52 77 56 78 17

83 45 29 96 34       06 28 89 80 83       13 74 67 00 78       18 47 54 06 10       68 71 17 78 17

88 68 54 02 00       86 50 75 84 01       36 76 66 79 51       90 36 47 64 93       29 60 91 10 62

99 59 46 73 48       87 51 76 49 69       91 82 60 89 28       93 78 56 13 68       23 47 83 41 13

65 48 11 76 74       17 46 85 09 50       58 04 77 69 74       73 03 95 71 86       40 21 81 65 44

80 12 43 56 35       17 72 70 80 15       45 31 82 23 74       21 11 54 82 53       14 38 55 37 63

74 35 09 98 17       77 40 27 72 14       43 23 60 02 10       45 52 16 42 37       96 28 60 26 55

69 91 62 68 03       66 25 22 91 48       36 93 68 72 03       76 62 11 39 90       94 40 05 64 18

09 89 32 05 05       14 22 56 85 14       46 42 72 67 88       96 29 77 88 22       54 38 21 45 98

91 49 91 45 23       68 47 92 76 86       46 16 28 35 54       94 75 08 99 23       37 08 92 00 48

80 33 69 45 98       26 94 03 68 58       70 29 73 41 35       53 14 03 33 40       42 05 08 23 41

44 10 48 19 49       85 15 75 79 54       32 97 92 65 75       57 60 04 08 81       22 22 20 64 13

12 55 07 37 42       11 10 00 20 40       12 86 07 46 97       96 64 48 94 39       28 70 72 58 15

63 60 64 93 29       16 50 53 44 84       40 21 95 25 63       43 65 17 70 82       07 20 73 17 90

СОДЕРЖАНИЕ

Ч а с т ь  1. Принципы сбора и методы первичной обработки информации

Лабораторная работа 1. Исследование характеристик распределения

                   случайной величины                                                                                        3

Лабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез                                         17

Лабораторная работа 3. Исследование корреляционной зависимости

                   двумерного распределения                                                                            28

Лабораторная работа 4. Разбиение многомерных данных на

                   однородные группы                                                                                       39

Лабораторная работа 5. Последовательная проверка статистических

                   гипотез                                                                                                             55

Ч а с т ь  2. Математическое моделирование

Лабораторная работа 1. Расслоенный (ступенчатый) эсперимент                   65

Лабораторная работа 2. Полный (дробный) факторный эсперимент               73

Лабораторная работа 3. Модифицированный метод случайного

                   баланса                                                                                                             90

Лабораторная работа 4. Метод наименьших квадратов с предварительной

                   ортогонализацией факторов                                                                          101

Лабораторная работа 5. Последовательный симплексный метод

                   планирования эсперимента при поиске оптимальных условий    111

П р и л о ж е н и е. Статистические таблицы                                                                 120