Сочетаниями НП будут последовательно: (1, 2); (3, 5); (4, 7); (6, 10); (8, 13); (9, 15),…

Обозначая последовательно через а_i
первые числа и через b_i
вторые числа, составляющие сочетания НП, расположим их в два ряда:

Замечаем, что b₁ больше a₁ на 1, b₂ больше a₂ на 2, …, b_n больше a_n на n, так что

По какому же принципу построен первый ряд чисел?

Мы знаем, что
 Образуем новую последовательность чисел (III) пока из двух чисел:

(III) {
1, 2, …

Наименьшим из натуральных чисел, отсутствующих в последовательности (III), является число 3. Оно и будет следующим числом ряда (I): а₂=3. Отсюда b₂=3+2=5.

Пополняем последовательность (III) числами 3 и 5:

Наименьшим из натуральных чисел, отсутствующих в последовательности (III), является 4. Оно будет следующим числом ряда (I) :
 Отсюда
 Тогда

(III) { 1, 2, 3, 4, 5,7, …

По тому же принципу устанавливаем, что
. Отсюда b₄=6+4=10 и т. д.

Итак, в каждом сочетании НП
 меньшее число (а_n) является наименьшим натуральным числом из тех, которые еще не встречались в предыдущих сочетаниях. По формулам

выведенным проф. Арнольдом (Позже эти формулы были выведены несколько иным путем математиком Минь Сыхао и опубликованы на китайском языке в журнале «Чжунго шусюэ цзачжи», 1952, № 2.), можно и непосредственно получить все сочетания НП, полагая n=1, 2, 3, … Знак [ ] указывает, что если число, охваченное этими скобками, выразить в виде десятичной дроби, то необходимо оставить только целую часть этого числа, а все его десятые, сотые и прочие доли отбросить. Так, [1,61]=1, [3,2]=3 и т. д. Для полной ясности теории игры Цзяньшицзы приведу без доказательства еще одну теорему, обоснованную Минь Сы-хао.

Соблюдая правила игры, никакое сочетание НП нельзя одним ходом превратить в другое сочетание НП, но любое сочетание, не являющееся сочетанием НП, можно одним ходом превратить в сочетание НП.

Из этой теоремы следует, что любое сочетание, не входящее в группу сочетаний НП, является сочетанием НВ.

Кстати, по поводу числа
, с помощью которого легко получаются пары чисел, обеспечивающие победу в игре Цзяньшицзы. Оно должно быть знакомо учащимся старших классов средней школы. Это — коэффициент золотого сечения. Это же число входит в состав формулы, позволяющей найти любой член ряда Фибоначчи, не зная предшествующих членов (см. стр. 375).

Связь между формулами игры и числами Фибоначчи оказалась не случайной. Один из товарищей проф. Арнольда, И. М. Абрамов, установил, что, пользуясь числовым рядом Фибоначчи

где «u₀
= 1, «u₁=1 и, далее, u_n=u_n-1+u_n-2, можно найти пару чисел, образующих комбинацию НП для любого номера n.

Для этого надо номер n искомой пары представить как сумму чисел Фибоначчи, непременно включая u₀. Тогда a_n и b_n
образуются как суммы членов ряда Фибоначчи, номера которых соответственно на 1 и на 2 больше номеров членов, составляющих число n.

Убедитесь сами в том, что пара (11, 18) является комбинацией НП.