Метод D — разбиений


Идея метода D-разбиений заключается в разбиении области определения исследуемого параметра на подобласти, каждой из которых соответствует неизменное количество корней характеристического уравнения, принадлежащих правой части комплексной плоскости. Каждая подобласть размечается как D(v), где v — количество корней характеристического уравнения системы, принадлежащих правой части комплексной плоскости.

Представим характеристическое уравнение системы в виде: A(p)=R(p)+dQ(p), где d — исследуемый параметр, а R и Q— некоторые полиномы от p, порядка n и k соответственно. Перейдем от комплексной переменной р к чисто мнимому выражению jw, тогда наше уравнение примет вид: A(jw)=R(jw)+dQ(jw)=0. Отсюда: clip_image002, где w имеет физический смысл частоты. Изменяя w от 0 до ?, построим на комплексной плоскости переменной d, кривую, которая и является границей подобластей.

Метод D - разбиений

Рис. 7.3. Пример областей D— разбиения, стрелкой показано направление увеличения частоты.

Как правило, строят две границы – одна для изменения частоты в пределах от 0 до ?, а другая – для изменения частоты от 0 до -?. Вторая граница может быть получена путем зеркального отображения первой границы относительно действительной оси (рис. 7.3).

Если теперь определить количество корней характеристического уравнения, принадлежащих правой части комплексной плоскости, для каждой полученной нами D — области, и нанести это на наш рисунок, то формирование D – областей завершено.

При этом вовсе не обязательно применять критерий устойчивости для каждой D — области. Достаточно сделать это один раз, а затем воспользоваться следующим правилом:

а) перемещаясь вдоль границы области D — разбиения в направлении увеличения частоты, нанесем на нее штриховку с левой сторону по ходу движения;

б) при пересечении границы D – разбиения по направлению штриховки, на комплексной плоскости переменной р один корень характеристического уравнения переходит из правой области в левую;

в) при пересечении границы D — разбиения против направления штриховки, на комплексной плоскости переменной р один корень характеристического уравнения переходит из левой области в правую.

ЛИТЕРАТУРА

1. Математические основы теории управляемых систем. Л.С. Гноенский, Л. Э. Эльсгольц. М.: Наука.- 1969.-512 с.

2. Теория автоматического управления. Под. Ред. проф. Нетушила А. В., М.: Высшая школа, 1976. – 400 с.

3. Клюев А.С. Автоматическое регулирование. М.: Высшая школа. — 1986.

4. Основы автоматического управления. Под ред. Пугачева В.С. М.: Наука.- 1974.

5. Основы теории автоматического регулирования и управления. Воронов А.А, В.К. Титов, Б.Н. Новоградов, М.: Высшая школа.-1977.

6. Теория автоматического управления: учебное пособие для студентов машиностроительных специальностей вузов / В. Н. Брюханов, М.Г. Косов, С. П. Протопопов и др.; под ред. Ю.М.Соломенцева.-3-е изд. стер. – М.: высшая школа, 2000.-268 с.: ил.