Критерий Найквиста


Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотному годографу разомкнутой системы. Поскольку частотный годограф может быть построен на основании результатов измерений, то это единственный критерий позволяющий использовать экспериментальные данные.

Разомкнутая система может находиться в одном из трех состояний: устойчивая, неустойчивая и нейтральная. Рассмотрим эти состояния более подробно.

1. Разомкнутая система находится в устойчивом состоянии.

Формулировка критерия Найквиста для этого случая принимает следующий вид:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ? не охватывал точку (-1;0).

Пример частотного годографа, построенный для разомкнутой системы, у которой clip_image002, (k=10, T=0.5) приведен на рис. 5.5. Стрелкой показано направление увеличения частоты.

clip_image003График Критерий Найквиста

Рис. 5.5. Пример частотного годографа разомкнутой системы.

Поскольку годограф на рис. 5.5 не охватывает точку –1,0, то замкнутая система будет устойчивой.

2. Разомкнутая система неустойчива.

Формулировка критерия Найквиста для этого случая принимает следующий вид:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ? охватывал точку (-1;0) L/2 раз, где L — количество корней характеристического уравнения, принадлежащих правой части комплексной плоскости.

clip_image006Критерий Найквиста 1clip_image009схемма Критерий Найквиста

а) б)

Рис. 5.6. Частотный годограф разомкнутой системы, для а) L=1; б) L=2.

На рис. 5.6,а представлен частотный годограф неустойчивой разомкнутой системы (clip_image013), которая имеет один корень характеристического уравнения в правой части. Стрелка показывает направление увеличения частоты. Видно, что годограф ? раза охватывает точку –1,0, что свидетельствует об устойчивости замкнутой системы. Читателю предлагается в качестве упражнения, проверить это утверждение с помощью других рассмотренных выше критериев.

На рис. 5.6,б представлен частотный годограф неустойчивой разомкнутой системы (clip_image015), которая имеет два корня характеристического уравнения в правой части комплексной плоскости. Видно, что годограф ? раза охватил точку –1,0, в то время как L/2=1. Вывод — замкнутая система будет неустойчивой.

3. Разомкнутая система нейтральна.

Формулировка критерия Найквиста для этого случая принимает следующий вид:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ?, с учетом дополнения в бесконечности, не охватывал точку (-1;0).

Дополнением в бесконечности называется дуга бесконечно большого радиуса с центром в начале координат, проведенная от положительной действительной полуоси по часовой стрелке до пересечения с годографом.

Критерий Найквиста

Рис. 5.7. Частотный годограф нейтральной разомкнутой системы

(пунктир – дополнение в бесконечности)

Рис. 5.7. демонстрирует пример частотного годографа нейтральной разомкнутой системы с дополнением в бесконечности (clip_image018). Поскольку изобразить дугу бесконечно большого радиуса на чертеже невозможно, используют дугу достаточно большого радиуса внутри которой помещаются все изгибы частотного годографа. Частотный годограф, вместе с дополнением в бесконечности образуют контур. В нашем случае внутри этого контура нет точки -1,0, что свидетельствует об устойчивости замкнутой системы.