Критерий Раусса


Критерий Раусса имеет ту же область применения, что и критерий Гурвица. Изменена только сама математическая процедура проведения вычислений.

Пусть имеется линейная система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

anpn + an-1pn-1 +…+ a0 = 0. (5.7)

Построим из коэффициентов этого уравнения таблицу Раусса (см. табл. 5.1). Первые две строки таблицы формируются из коэффициентов характеристического уравнения. При заполнении следующих строк необходимо вычислить вспомогательные коэффициенты li. Если в процессе вычислений встретится несуществующий индекс коэффициента характеристического уравнения, берется число 0. Всего таблица должна содержать n+1 строку.

Таблица 5.1

Пример таблицы Раусса

 

С11=an

С12=an-2

С13=an-4

С14=an-6

 

С21=an-1

С22=an-3

С23=an-5

C24=an-7

l1=С11/С21

С31=С12С22l1

С32=С13С23l1

С32=С14С24l1

l2=С21/С31

С41=С22С32l2

С42=С23С33l2

l3=С31/С41

С51=С32С42l3

ln-1=…

       

Формулировка критерия Раусса:

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Раусса были положительны.

Здесь под первым столбцом понимается столбец, содержащий значения Сi1.

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны, а один из них равен нулю, то наша система нейтральна. Количество же перемен знака в первом столбце таблицы Раусса равно количеству корней характеристического уравнения, лежащих в правой части комплексной плоскости.

Пример 5.2.

Определим с помощью критерия Раусса устойчивость системы, рассмотренной в примере 5.1. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

clip_image002. (5.8)

Зададим следующие значения параметров системы: k=10, T1=0.5, T2=1. В этом случае наше уравнение принимает вид:

clip_image004. (5.9)

Поскольку наша система имеет третий порядок, то таблица Раусса должна содержать 4 строки. Результаты вычислений сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Таблица Раусса для примера 5.2.

 

С11=a3=0,5

С12=a1=1

 

С21=a2=1,5

С22=a0=10

clip_image006

С31=С12С22clip_image008=1-10/3= -2,33

С41=0

clip_image010

С41=С22С41clip_image012=10-0?(clip_image014)=10

 

Поскольку в первом столбце таблицы Раусса присутствует отрицательное значение (С31=

-2,33), то система должна быть признана неустойчивой. Количество перемен знака в первом столбце равно двум, следовательно, два корня характеристического уравнения принадлежат правой части комплексной плоскости.