Платоновы тела. Геометрические особенности и способы построения.


Платоновы тела — правильные выпуклые многогранники, все грани которых являются правильными многоугольниками (3 и более) многогранные углы которых при вершинах равны между собой.

Существует 5 правильных многогранников (было доказано Евклидом). Данные о них приведены в таблице 1.

Название

Число граней

Число ребер

Число вершин

Тетраэдр

4

6

4

Гексаэдр

6

12

8

Октаэдр

8

12

6

Додекаэдр

12

30

20

Икосаэдр

20

30

12

Примечание! Для каждой из фигур справедливо равенство Эйлера: Число граней + число вершин = число ребер + 2.

Известно, что для полного описания выпуклых многогранников достаточно определить местоположение вершин. Каковы операции построения? Рассмотрим их подробнее.

Гексаэдр (куб) — фигура, имеющая шесть одинаковых граней в виде квадратов. Все ребра его равны между собой, поэтому построение труда не составляет . Используем его в качестве базы для других.

Тетраэдр — призма, имеющая 4 одинаковых грани в виде равносторонних треугольников. Для построения достаточно провести диагонали противоположных граней куба. Вершины тетраэдра лежат в вершинах куба, не смежных друг с другом.

Октаэдр — многогранник, вершины которого являются центрами тяжести сторон мнимого наружного куба. Местонахождение каждой вершины — на пересечении диагоналей грани куба; координаты определяются путем нахождения среднего арифметического одноименных координат вершин куба.

Икосаэдр — фигура, представленная 20 — гранями в виде равносторонних треугольников. Процес построения следующий. Берется круглый цилиндр единичного радиуса, ось которого совпадает с осью oZ, а центры оснований равноудалены от начала координат на Z = 1 и Z = -1. Каждую из полученных окружностей разбивают на 5 равных частей, так, чтобы засечки были смещены по радиусу на 1/10 часть длины окружности. Далее точки нумеруют, как показано на Рис.19. Следующий шаг — соединение смежных точек отрезками до получения “пояса” равносторонних треугольников (Рис. 20). Затем на оси OZ выбирают две точки, равноудаленные от центра координат на расстояние ± и соединяют их с точками пятиугольных оснований, как показано на Рис. 21. В результате получаем 12 точек — вершин многогранника (Рис.22). Определение координат полученной фигуры для 2-х точек не составляет труда, а для остальных 10 (лежащих на окружностях оснований цилиндра) необходимо использовать полярные координаты. Все точки одного основания имеют радиус = 1 и равные величины углов (36°).

Додекаэдр — многогранник, состоящий из 12-ти равносторонних пятиугольников. Способов построения несколько. Известен метод Евклида (построение “крыш” над гранями куба) и другой, суть которого состоит в использовании свойства двойственности (связывающим додекаэдр и икосаэдр): вершины додекаэдра являются центрами тяжести треугольных граней икосаэдра.

Заключение.

Выполняя геометрические преобразования вращения и переноса можно получить Платоновы тела в произвольных точках и с любыми длинами ребер.