Наименьшим общим кратным нескольких чисел (НОК) является произведение всех простых множителей одного числа и недостающих множителей остальных чисел. Для чисел первого десятка НОК составляется, очевидно, из следующих множителей: что и дает число 2520.
Во всех случаях раскладывания мандаринов по пакетам не хватает только одного мандарина. Следовательно, если бы мы имели одним мандарином больше, то их число делилось бы на 10, на 9, на 8, на 7, на 6, на 5, на 4, на 3 и на 2.
Таких чисел бесчисленное множество. Наименьшее из них 58. В самом деле, разность между делителем и остатком во всех случаях равна 2. Следовательно, если к искомому числу добавить 2, то оно разделится без остатка на любой из указанных в задаче делителей.
Наименьшее кратное чисел 2, 3, 4, 5 и 6 равно 60. Надо найти кратное 7, на 1 большее кратного 60. Заметим, что
Очевидно, что задуманное число кратно 7, 8 и 9. Значит, оно равно 7х 8х 9=504. Других множителей у него нет, так как при наличии самого меньшего из них, то есть еще одной двойки, искомое число стало бы уже четырехзначным.
НОК чисел 4, 8, 12 и 16 есть 48. Следовательно, теплоходы сойдутся через 48 недель, то есть 4 декабря 1953 г.
Цена на соль и мыло кратна числу 3. Количество пачек сахару и пирожных тоже кратно трем. Поэтому сумма стоимости всех покупок должна быть кратна числу 3. Этой кратности не было в сумме, обозначенной на чеке. Значит, в подсчетах имеется ошибка.
Решение основывается на том наблюдении, что левая сторона уравнения делится на 9, значит, и правая сторона должна делиться на 9. Следовательно, должна делиться на 9 и сумма цифр: 4+9+2+а+4. Но 4+9+2+4= 19. Следовательно, а=8. Других значений а иметь не может, так как заменяет цифру.
Левая часть равенства делится на 11. Значит, и правая часть должна делиться на 11. В соответствии с признаком делимости на 11 имеем: . Отсюда а=8. (Другие случаи, предусмотренные признаком делимости, здесь не имеют места, так как дают для а отрицательные или двузначные значения.)
Запишем трехзначное число в обычной алгебраической форме:
Пусть N — число, разбивающееся на 3 грани. Представим его в следующей форме:
Примените такой же прием доказательства, как в решении предыдущей задачи. Из доказанного свойства будет следовать такое правило определения делимости данного числа на 3, 7 и 19:
Известно, что х—1 делится на х—1 (см. стр. 258). Следовательно,
Ответ 320.1.
