Лабораторная работа № 1

Цель работы — выработать навыки по обработке полученных эксперимен­тальным путем статистических данных для определения характеристик случайных величин и выявления степени точности их определения, нахождения теоретическо­го закона распределения случайных величин и применения его в статистических расчетах.

 

1 Общие положения

1.1 Построение гистрограммы распределения

Конечная цель в исследовании распределения случайной величины — устано­вление уравнения кривой распределения этой величины.

Основными типами распределения являются нормальное распределение Гаус­са-Лапласа, биноминальное распределение Бернулли, -распределение и некоторые другие [1-3]. Все эти распределения обладают хорошо известными формулами, задача заключается лишь в том, чтобы правильно определить, какая из теоретических кривых наиболее полно совпадает с выбороч­ным распределением. Покажем, как это делается на примере нормального распре­деления, которое наиболее часто встречается при исследовании характеристик распределения параметров массовых электрорадиоэлементов.

Пусть задано определить вид и параметры кривых распределения по экспери­ментальным данным, представленным в таблице 1.1.

Таблица имитирует результаты контрольных измерений параметров одного ти­па электрорадиоэлементов после некоторой технологической операции, причем три параметра считаются первоначальными факторами (X-X), а один — выходным пока­зателем качества (Y).

Такая таблица представляет собой многомерную (четырехмерную) выборку. Каждый столбец этой таблицы является одномерной выборкой случайной величины X. Выборка объема n для случайной величины X — совокупность значений (X,…,Xn) этой случайной величины, полученных в результате n независимых экспериментов.

Таблица 1.1 – Исходные данные

Х	Х	Х	Y	Х	Х	Х	Y	Х	Х	Х	Y
245	256	29.4	64.2	249	271	20.4	65.3	209	237	16.9	56.0
274	268	22.5	68.2	151	282	17.5	54.7	299	311	23.2	76.5
318	282	21.2	75.0	238	229	24.2	59.4	195	285	24.1	61.2
232	315	24.5	69.3	300	245	32.8	47.1	299	316	24.1	77.3
243	198	23.5	56.1	212	157	21.4	47.1	152	304	18.4	57.7
153	330	25.2	61.9	193	304	28.0	63.8	300	302	19.3	75.0
251	320	25.9	72.3	195	202	24.7	51.0	248	364	24.8	77.2
197	234	22.0	54.9	219	260	20.0	60.4	238	219	25.3	58.3
217	244	27.4	59.1	258	247	27.4	64.4	292	267	22.0	70.1
223	246	18.6	59.0	230	248	25.8	61.0	238	322	24.0	70.8
274	279	25.0	69.9	144	288	21.9	55.2	343	309	24.5	82.0
193	257	18.0	56.7	172	341	25.7	65.5	274	248	17.4	65.1
145	315	21.7	58.6	220	246	18.4	58.6	265	309	26.3	72.2
225	293	21.7	65.4	278	215	27.5	62.8	309	303	19.2	76.2
319	234	27.2	70.0	208	284	21.6	62.3	263	194	17.4	57.2
215	266	26.8	61.5	204	280	23.0	61.5	323	298	32.1	78.9
299	286	18.5	72.9	273	231	30.8	64.6	205	319	34.8	67.9
192	287	19.8	60.5	180	286	23.3	59.4	215	253	22.6	59.4
207	242	21 .5	57.0	199	233	24.4	55.3	286	300	25.8	74.0
255	182	20.2	55.1	289	309	22.0	74.9	177	294	19.1	59.5
277	260	21.0	67.4	256	263	18.2	64.9	216	195	22.6	52.4
209	314	20.9	66.0	164	289	18.9	57.3	253	225	19.0	60.0
222	275	22.8	63.0	158	317	24.7	60.8	175	262	22.8	55.8
176	317	20.7	62.4	251	253	24.9	64.0	203	324	34.0	68.2
213	273	26.4	62.1	172	299	20.3	59.7	157	288	20.4	56.6
255	221	22.4	60.2	254	239	19.3	61.9	203	292	24.1	63.0
283	293	17.2	71.7	210	356	24.6	71.7	258	272	20.2	66.5
206	324	26.3	67.5	229	254	20.1	60.9	142	292	22.9	55.6
252	223	30.5	61.1	196	264	20.5	58.2	202	251	16.6	56.8
294	263	21.0	69.8	294	286	28.4	73.5	205	281	30.6	62.7
241	265	19.9	63.6	288	254	33.2	69.5	265	260	23.4	66.3
221	263	16.0	60.5	292	268	12.3	69.0	273	230	32.3	64.7

Продолжение таблицы 1.1

Х	Х	Х	Y	Х	Х	Х	Y	Х	Х	Х	Y
186	312	26.6	63.7	242.	267	22.9	64.4	205	255	16.8	57.7
222	276	29.8	64.0	278	240	24.3	65.5	340	207	31.6	69.7
241	280	24.2	66.0	319	284	24.5	75.7	188	253	19.6	55.8
261	303	24.8	71.3	324	311	23.2	78.3	215	255	22.2	59.6
341	301	17.6	79.5	278	229	30.7	64.9	185	337	25.4	66.5
260	266	21.1	66.1	160	295	22.2	58.0	149	288	17.1	55.2
214	286	18.8	62.8	260	262	17.4	65.2	338	281	24.7	77.6
195	302	25.6	63.4	167	278	18.3	56.2	228	228	29.3	58.9
201	248	21.3	57.0	293	286	22.6	72.7	300	323	24.4	78.3
270	281	23.4	69.4	215	242	21.1	57.9	205	243	26.7	57.5
301	299	22.1	75.2	270	224	17.8	61.7	255	279	21.2	67.1
172	337	25.2	65.0	328	299	24.6	78.7	252	292	22.5	68.6
228	244	19.8	59.5	211	261	26.3	60.4	214	281	27.5	63.4
157	291	17.6	56.6	226	213	17.9	55.2	129	282	20.0	52.5
330	316	24.0	80.9	336	301	17.7	79.0	165	333	27.9	64.0
203	259	22.4	58.7	194	240	24.9	55.6 207.	207	268	18.2	59.7
146	307	20.1	57.6	169	304	27.1	60.8 211.	211	254	22.0	59.0
343	313	25.9	82.3	197	275	21.2	59.8	235	299	17.3	66.7
262	296	17.1	69.5	194	198	24.4	50.4	324	331	25.9	82.1
181	242	22.0	54.0	245	251	22.8	62.7	312	273	24.3	73.5
218	302	17.7	65.1	190	316	25.4	64.5	243	223	15.8	58.1
195	268	20.9	58.7	256	278	22.9	67.4	236	278	23.5	65.1
238	236	23.7	60.2	230	198	24.0	54.6	190	223	25.6	53.1
258	325	24.9	73.6	241	222	19.1	58.2	228	202	23.9	54.8
202	229	24.6	55.2	228	181	20.0	51.8	199	311	26.8	65.2
289	336	33.2	79.7	272	260	23.4	28.2	282	335	27.5	78.0
255	178	14.6	53.9	309	251	18.7	69.8

Величины X, i=1,2,….,n называют выборочными значениями. Говорят что выборка (Х,…,Хп) взята из генеральной совокупности случайной величины X, а под законом распределения генеральной совокупности понимают закон распределения X.

Для наглядного восприятия конкретной выборки, как правило, пользуются ги­стограммами.

Гистограмма — способ графического изображения интервальных распределе­ний. Она строится в декартовых координатах, где на оси абсцисс откладывают рав­ные отрезки, изображающие k интервалов (разрядов) значений случайной величины X, а на этих отрезках, как на основаниях, строят прямоугольники, высота которых соответствует частотам () появления случайной величины в j-м разряде, причем

=N , (1.1)

где N — объем выборки, то есть общее количество случайных величин в выборке. Величину разряда (шаг гистограммы) можно определить как

С = (Xmax -Xmin)/k, (1.2)

где k=1+3.32lgN целое число.

Тогда центры разрядов будут равны

= Xmin + (j-0.5)C, j = 1,2,..,k. (1.3)

Внимание! При всех расчетах число знаков после запятой в и С не должно быть больше одного по сравнению с исходными числами X, i = 1,…N. Если величины С и Xmin неудобны для восприятия, можно величину С увеличить до ближайшего удобного четного числа, но не более чем на 0.5 единицы последнего разряда ис­ходных чисел X, а величину Хmin уменьшить, но не более чем на десятикратную поправку величины разряда С.

Для примера: распределение фактора таблицы 1.1 имеет

Хmin = 129, а Хmax = 341. Тогда, по расчетам, k = 9, шаг С = 24.0, а величину Хmin следует смес­тить до 128. Саму гистограмму сравнительно легко построить вручную путем про­смотра таблицы исходных данных и откладывания каждого числа в виде прямо­угольника с основанием, равным ширине соответствующего разряда. После про­смотра всех чисел будем иметь гистограмму (рисунок 1.1), а, соединив середины плоских вершин каждого разряда гистограммы прямыми линиями, получим эксперимен­тальный график (полигон) функции плотности вероятности или дифференциального закона распределения.

Рисунок 1.1- Гистограмма и полигон Рисунок 1.2- Частоты выборо- (эмпирическая плотность чного (1) и выравнивающего (2)

вероятности) выборочного распределения

распределения

1.2 Нахождение оценок основных параметров ряда

распределения

Основными характеристиками любого распределения случайной величины яв­ляются моменты. Существуют три вида моментов ряда распределения:

а) простые или начальные моменты представляют собой сумму отклонения средних значений разрядов гистрограммы от некоторой произвольной точки Х, взя­той в h-й степени и умноженной на соответствующую относительную частоту

(1.4)

Если Х = 0 и при этом h=1, то

(1.5)

б) центральные моменты, которые отличаются от начальных только обяза­тельным равенством , то есть

μ= . (1.6)

Первый центральный момент μ = 0. Второй центральный момент μ назы­вается дисперсией распределения и часто обозначается . Отсюда можно вычис­лить среднеквадратическое отклонение.Оценка (приближенное значе­ние) этой величины обозначается S и называется выборочным среднеквадратич­ным отклонением; для практических расчетов ;

в) основные моменты представляют собой отношение центральных моментов к среднеквадратичному отклонению в соответствующей степени

. (1.7)

В частности r=1; r=0; r=1; r=; r= и т.д.

Третий основной момент служит мерой косости (асимметрией) кривой распреде­ления относительно центра

. (1.8)

Кривая распределения может обладать положительной ( > 0) и отрицательной ( < 0) косостью (асимметрией) и косостью, равной нулю (= 0). В последнем слу­чае говорят, что кривая распределения симметрична. Выражение

(1.9)

служит мерой крутости (эксцессом) выборочного распределения относительно кри­вой нормального распределения. Пределами существования меры крутости яв­ляется -2 < <+. При > 0 кривая распределения более круто уходит вверх, чем нормальное распределение, и является островершинной. При < 0 кривая является плосковершинной, переходящей в двувершинную (т.е. может быть вдавлена в сере­дине). Равенство =-2 указывает, что двувершинная кривая распределения рас­падается на две отдельные кривые. Вообще двувершинность указывает на неод­нородность ряда распределения, т.е. ряд представляет собой результат наложения каких-то двух однородных и, следовательно, одновершинных рядов.

При различного рода статистических вычислениях в силу конечности числа опытов большое значение имеют основные ошибки вычисления всех параметров ряда распределения. Их можно найти по следующим формулам:

. (1.10)

Одним из критериев (доказательств) того, что исследуемая случайная величи­на распределена по нормальному закону, является равенство нулю одновременно меры косости и меры крутости. Так как статистический нуль в отличие от алгебраи­ческого нуля равен удвоенной ошибке вычисления соответствующего параметра, то в случае

и

считается доказанным нормальный характер распределения исследуемой случай­ной величины.

Точность вычислений можно охарактеризовать следующим обобщающим па­раметром, который называется показателем точности исследований:

. (1.11)

Чем точнее произведено исследование, тем меньше показатель .

Для нашего примера (данные рисунок 1.1) в результате расчетов получим:

=37.6 ±3.7; = 1.56%;
μ = 2469.3; S ± = 49.69 ± 2.65;

μ = 9046.4; = 0.074±0.185;

μ = 13676663.4; = -0.754 ±0.390.

1.3 Выбор теоретической кривой распределения и доказательство ее правильности (неправильности)

Прежде всего по каким-либо признакам (внешний вид кривой и др.) высказы­вается гипотеза о том, что распределение случайной величины приближается к той или иной теоретической кривой распределения. Затем эта гипотеза проверяется с помощью вычислений выравнивающих частот выбранного распределения и одного из критериев согласия, который показывает, можем ли мы для данного выборочного (экспериментального) ряда распределения использовать объективные черты тео­ретического распределения (закона), упомянутого в гипотезе.

Покажем способ вычисления выравнивающих частот для нормального распре­деления, а также проверку гипотез с помощью критерия согласия Пирсона (хи-квадрат).

Для высказывания гипотезы о нормальном распределении нужно иметь хоть какие-то основания. Чаще всего о нормальности распределения судят «на глазок» по виду гистрограммы (рисунок 1.1), однако иногда она бывает настолько искажена, что трудно прийти к какому-либо выводу. В этом случае достаточно обратиться к мерам косости и крутости. При стремлении выборочного ряда распределения к нормальной кривой обе меры будут стремиться к нулю. На практике это означает, что если меры косости и крутости не превышают свои основные ошибки более, чем в 3-4 раза, то уже имеется основание для высказывания гипотезы о нормальном распределении.

Выравнивающие частоты, т.е. частоты, которые должны быть при нормальном (согласно нашей гипотезе) распределении для тех же аргументов, для которых у нас уже имеются выборочные частоты, наиболее просто подсчитать по формуле

, (1.12)

где — центрированный и нормированный аргумент, — масштабное число, которое служит для приведения теоретических значений нормального распределения к масштабу нашего опыта (чтобы эмпирическую и теоретическую кривые можно было сравнивать между собой).

Для большей наглядности следует совместить на одном рисунке выборочные выравнивающие частоты. Для этого на рисунке 1.2 совмещается полигон выборочного распределения из рисунка 1.1, выравнивающие частоты получаются вычислением по формуле (1.12) для каждого j-го разряда гистограммы.

Для того, чтобы оценить степень приближения выборочного распределения теоретической кривой, которая теперь представлена выравнивающим распределением. и в конечном счете доказать правильность или неправильность этого вы бора, воспользуемся одним из критериев согласия — критерием Р ().

Величина вычисляется по формуле:

, (1.13)

где — наблюденные, a — выравнивающие частоты.

Пример вычисления представлен в таблице 1.2. Величина является конкретным числовым значением ряда распределения -Пирсона, вероятность совпадения которого с теоретическим распределением и является мерой критерия согласия. Другими словами, вероятность того, что вычисленная величина совпадает с табличной и есть вероятность совпадения выборочного распределения с гипотетическим (в нашем случае с нормальным). Таблица вероятностей Р( ) представлена в таблице А.1 Приложения А.

При употреблении критерия согласия Р() важное значение имеет правильный подсчет числа степеней свободы. Следует помнить, что критерий Р() применим в тех случаях, когда количество опытов достаточно велико (порядка сотен), а каждом разряде число наблюдений составляет величину не менее 5 (если число данных в крайних разрядах гистограммы меньше 5, то разряды следует объединить. Эта особенность учтена в таблице 1.2).

Второй особенностью метода является условие приблизительного равенства объема всей выборки и суммы выравнивающих частот, то есть

. (1.14)

В случае, если эти величины значительно (более чем на 1) отличаются друг от друга, необходимо ввести в гистограмму дополнительные фиктивные разряды, в которых в частоты = 0, а выравнивающие частоты вычисляются в соответствии с формулой (1.12). Количество этих разрядов и их местоположение (в начале или в конце таблицы 1.2) должны обеспечивать максимально быстрое выполнение прибли­женного равенства (1.14).

Понятно, что в этом случае число разрядов уменьшается по сравнению с ис­ходным числом разрядов k. Принимая во внимание, что в случае нормального рас­пределения, устанавливаемого на основании выборочного распределения, частоты подчинены трем связям, а именно, сумма вы­борочных частот фиксирована (равна объему выборки N), с помощью этих же частот находим среднее значение случайной величины и среднеквадратичное от­клонение s, то число степеней свободы будет равно

.

Для нашего примера =6.4698; =6 и 0,30<P()<0.50

Такое значение не дает возможности с уверенностью утверждать или отрицать гипотезу. Существует простое правило (критерий Романовского), значительно об­легчающее применение критерия согласия Пирсона для оценки расхождения меж­ду выборочными и выравнивающими частотами: если

, (1.15)

то расхождение между ними можно полагать случайным, вызванным малостью объема выборки, в противном случае расхождение следует полагать существенным и признать, что выборочное распределение не подчиняется теоретическому закону, с которым его сравнивали. В нашем примере

.

Таблица 1.2 — Вычисление критерия — Пирсона

j
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	116 140 164 188 212 236 260 284 308 332 356	-2.47 -1.98 -1.49 -1.01 -0.52 -0.03 +0.45 +0.94 +1.43 +1.92 +2.40	0 6 14 23 37 26 26 21 13 10 0	1.62 4.82 11.28 20.56 29.92 34.23 30.95 22.02 12.32 5.42 1.92	0.0300 0.6559 0.2895 1.6753 1.9787 0.7917 0.04772 0.0375 0.9640
			176	175.56	6.4698

Таким образом, расхождение между выравнивающими и выборочными часто­тами можно считать случайным, а выборочный ряд распределения — нормальным; (точнее это формулируется так: гипотеза о нормальности выборочного ряда распре­деления не противоречит данным опыта).

1.4 Определение аналитического выражения функции плотности вероятности и поля допуска

Так как мы доказали, что гипотеза о нормальном законе распределения не про­тиворечит данным опыта, можно воспользоваться теоретическим выражением функции плотности вероятности

f(X)= , (1.16)

подставляя в которое оценочные параметры, рассчитанные по опытным данным, получим аналитическое выражение дифференциального закона распределения (плотности вероятности) выборки. Для нашего примера

f(X)=0.00803 exp{-2.025.

По этому закону легко определить вероятность попадания исследуемой вели­чины в любой наперед заданный интервал значений

. (1.17)

Однако именно для нормального закона распределения этот интеграл не берется в элементарных функциях, и его следует определять численными методами, например, с использованием нормированной функции Лапласа. Выражение (1.17) в этом случае преобразуется:

, (1.18)

где — нормированная функция Лапласа, которая представлена в таблице А.3 При­ложения А.

Для нашего примера вероятность нахождения величины X в каком-либо интер­вале, например в 3-м и 4-м разрядах гистограммы, равна

;

;

.

Для сравнения подсчитаем суммарную частость (относительную частоту) в том же интервале, определенную прямо на гистограмме. Она равна

== (23 + 37) / 176 = 0.3409, что на 19 % отличается от теоретического значения. Объяснение этому обстоятельству легко найти при ис­следовании кривых (рисунок 1.2).

При назначении поля допуска по вероятностному закону конструктор (технолог) обязан связать его с одним из параметров этого закона. В случае нормального за­кона распределения и двустороннего симметричного допуска наиболее просто это сделать через среднеквадратичное отклонение

где — некоторый коэффициент пропорциональности. Выбор величины тесно связан с доверительной вероятностью, которая численно равна площади, за­ключенной между кривой распределения и осью абсцисс в пределах выбранного допуска (рисунок 1.3). Доверительную вероятность можно трактовать как вероятность получения правильного ответа (попадания деталей в допуск при массовом произ­водстве, процент выхода годных изделий и т.п.), а сопряженную с ней величину

q = 1 — P как уровень значимости (процент ошибки) принятого решения. Величину q исследователь выбирает сам исходя из того, к какой предметной области относится задача (для сельскохозяйственного производства q = 10 %, для медицины q = 0.1%). Как правило, в технических приложениях принято пользоваться величиной уров­ня значимости

q = 5 %. Некоторые значения и связанные с ней вероятности приведены в таблице 1.3.

Рисунок 1.3 – Связь между полем допуска и

доверительной вероятностью

Чем больше , тем больше P— т.е. увеличивается процент выхода год­ных изделий, но увеличивается и поле допуска, что может привести к невозмож­ности сочетать данное изделие с другими. Таким образом, допуск всегда есть ком­промисс между этими противоположными стремлениями. Чаще всего (но вовсе не обязательно) назначается допуск (P = 0.9973), так как здесь оба требо­вания, как правило, удовлетворяются.

Для нашего примера при P=0,9973 имеем:

;

.

Иначе .

С учетом ошибок вычисления этот же результат будет иметь вид

Таблица 1.3- Зависимость коэффициентов от доверительной

вероятности P

2 Порядок проведения работы

2.1. Получить у преподавателя таблицу многомерного распределения связанных между собой случайных величин и построить гистограмму распределения одной из них.

2.2. Построить экспериментальные графики функции плотности вероятности (полигон).

2.3 Определить суммарную частость нахождения случайной величины в лю­бых двух смежных разрядах гистограммы.

2.4 Определить параметры распределения: среднее арифметическое, эмпи­рическую дисперсию, среднеквадратическое отклонение, меру косости (асимметрию), меру крутости (эксцесс) и оценить ошибки, с которыми они найдены.

2.5 Проверить выборочный ряд распределения на соответствие нормальному закону с помощью критерия Р( ).

2.6 Написать аналитическое выражение для функции плотности вероятности.

2.7 С помощью найденного выражения определить суммарную вероятность нахождения случайной величины в тех же двух смежных разрядах гистограммы, что и в п.2.3. Результаты сравнить.

2.8 Определить верхнее и нижнее значение (поле допуска) случайной величи­ны при заданной доверительной вероятности 0.80;0.90; 0.997.

3 Содержание отчёта

Отчет по лабораторной работе должен содержать ответы на все пункты зада­ния с приведением необходимых графиков, формул, расчетов.

При подготовке к защите лабораторной работы необходимо ознакомиться с контрольными вопросами и продумать результаты работы, обратив особое внима­ние на те пункты, в которых наблюдается расхождение расчета и эксперимента.

4 Контрольные вопросы

4.1. Назовите несколько законов распределения случайных величин. Чем они отличаются, что характеризуют?

4.2. Методы нахождения X и S при больших и малых выборках.

4.3. Для чего нужно строить гистограмму распределения? Какие выводы (или гипотезы) можно сделать по виду гистограммы?

4.4. Что дает знание дифференциального (плотности вероятности) закона рас­пределения?

4.5. Как можно определить вероятность попадания случайной величины в за­данный интервал значений приблизительно? Точно?

4.6. Взаимосвязь допусков на параметры радиоэлементов с характеристиками законов распределения случайных величин.

4.7. Определить поле допуска при заданной доверительной вероятности.

4.8. Какова точность нахождения параметров выборочного распределения? От чего она зависит?

4.9. Что такое центральные моменты, почему так называются, что характери­зуют?

4.11. Что характеризует мера косости (ассиметрия)? В каких пределах он существует?

4.12. Что характеризует мера крутости (эксцесс)? В каких пределах она сществует?

4.13. Как проверить гипотезу о законе распределения выборочного ряда значений случайной величины?

4.14. Как оценить значимость или незначимость расхождений между выборными и выравнивающими частотами?

4.15. Что такое выравнивающие частоты?

4.16. Что можно сделать с помощью Р( ) критерия Пирсона? Какими ограничениями он обладает?

4.17. Что такое число степеней свободы и как он определяется? Какие особенности существуют при нахождении числа степеней свободы величины ?

5 Рекомендуемая литература

5.1. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений, изд. 2-е — М.: Наука, 1971.- 576 с. (с. 20-23, 29-32, 44-54, 108-133, 238-242, 337-340).

5.2. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в техн. и науке: Методы обработки данных /Пер, с англ. под ред. Э.К. Лецкого. — М.: Мир, 1980. -610 с. (с. 22-30, 31-42, 99-118, 130-141).

5.3. Долгов Ю.А. Статистическое моделирование : Учебник для вузов.- Тирасполь: РИО ПГУ, 2002.- 280 с. (с. 5-19).