1. В чем различия между физическим и математическим моделированием.

Различают физическое и математическое моделирование.

При физическом моделировании исследование объекта происходит при воспроизведении его в ином масштабе. Здесь возможен количественный перенос результатов эксперимента с модели на оригинал. Но применение физического моделирования неудобно для сложных объектов (схемы РЭА, приборостроения, машиностроения и т.д.) поскольку приходится использовать большое количество критериев и ограничений, которые могут быть несовместимы или невыполнимы.

Математическое моделирование является методом качественного или количественного описания объектов или процессов, при этом реальный объект, процесс или явление упрощается, схематизируется и описывается определенным уравнением.

2. Графическая интерпретация математического описания объекта в виде полинома.

Исследуемый объект описывается определенным уравнением, но описание нельзя получить в виде точной формулы функции, справедливой во всем диапазоне существования аргументов. Оно м.б. лишь приближенным и на небольшом участке в окрестностях выбранной базовой точки. Полученное в результате уравнение не дает нам точной связи между входом и выходом объекта и является лишь условным математическим ожиданием случайной величены Y т.е. уравнением регрессии.

3. Предпосылки построения плана и определения регрессионного уравнения.

Предпосылки факторного анализа

1. Результаты наблюдений выходной величины Y в N точках факторного пространства, представляют собой независимые, нормально распределённые случайные величины.

2. Выборочные дисперсии опытов однородны, т.е. статистически неразличимы. Это требование означает независимость выборочной дисперсии от места факторного пространства, в котором проводится эксперимент. (Свойство – Ротатабельность.)

3. независимые переменные измеряются с ошибкой много меньшей, чем величина возможного отклонения выходного параметра Y от действия неучтённых факторов.

4. Что такое ПФЭ и ДФЭ.

ПФЭ – называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на этих двух уровнях. Число этих комбинаций определяет тип планирования.

Эксперимент, реализующий часть ПФЭ (дробную реплику), называется дробным факторным экспериментом.

5. Что такое генерирующее соотношение и как оно выбирается.

В ДФЭ один из факторов работает по чужому закону . Равенство называется генерирующим соотношением. Оно показывает какой именно фактор () по какому именно закону () будет изменяться в процессе планирования эксперимента. При этом индекс фактора, стоящего слева ни в коем случае не должен повториться в генерирующем соотношении. , .

Генерирующее соотношение служит для построения дробных реплик.

6. Что такое определяющий контраст и как с его помощью составляется система совместных оценок.

ОК – наз-ся соотношение, задающее элемент первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной (все = 1). Задание ОК позволяет определить всю систему совместных оценок, не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно перемножив независимые переменные на ОК.

7. При каких условиях не выполняется проверка воспроизводимости.

Проверка воспроизводимости – это проверка на однородность выборочных дисперсий. Проверка воспроизводимости не выполняется, если наши выборочные дисперсии однородны.

8. При каких условиях не выполняется проверка адекватности?

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией неадекватности . Если не превышает дисперсии опыта, то полученная математическая модель адекватно представляет результаты эксперимента, если же , то описание считается неадекватным объекту.

9. При каких условиях коэффициенты регрессии будут незначимыми?

Согласно критерию Стьюдента . Если неравенство справедливо, то данный коэффициент признаём незначимым, а если нет, то оставляем его в нашей модели.

10. Как составляется матрица планирования ПФЭ?

1) Каждая g-я строка матрицы представляет собой набор координат точки , в которой производится эксперимент;

2) Вводится фиктивная переменная ;

3) Т.к. переменные принимают значения +1 или –1, то для удобства вместо них пишем + или -.

4) Первая строка выбирается так, чтобы управляемые переменные находились на нижнем уровне. Последующие строки при составлении матрицы планирования набираются по правилу: при построчном переборе всех вариантов частота смены знака управляемых переменных для каждой последующей переменной вдвое меньше, чем для предыдущей.

11. От чего зависит разрешающая способность дробных реплик?

Разрешающая способность дробных реплик определяется генерирующими соотношениями. Она тем выше, чем выше порядок взаимодействий, с которыми смешаны линейные коэффициенты, и увеличивается с ростом числа независимых переменных.

12. Указать порядок проведения эксперимента методом ПФЭ?

1. В каждой точке этого плана необходимо получить выборку.

2. Надо воспользоваться рандомизацией, т.к. существует влияние неучтённых факторов.

Для каждой точки: ; . Для сравнения дисперсий можно воспользоваться критерием Кохрена или Бартлетта. Дисперсию эксперимента нужно считать по формуле: а) — для Кохрена; б) Средневзвешенная дисперсия по Бартлетту.

Если дисперсии неразличимы, то, стало быть, есть грубый промах: 1. Выбросить грубый промах; 2. На его место становится среднее арифметическое.

Теперь находим коэффициенты модели, проверяем их на значимость, проверяем адекватность модели.

;; т.к.

введём фиктивную переменную , тогда

Получаем исходные коэффициенты модели, т.е. нашли не истинные коэффициенты, а их оценки. Сравним их с НУЛЁМ – проверим на значимость.

.

Если неравенство справедливо, то данный коэффициент признаём незначимым, а если нет, то оставляем его в нашей модели. Количество значимых коэффициентов модели обозначим за d.

— Это наша модель. — Предсказанное значение выходной величины. Мерой отклонения экспериментальных данных от предсказанных служит дисперсия адекватности.

, где N>d. Если N = d, то мы не можем оценить адекватность нашей модели.

Для оценки адекватности модели пользуются критерием Фишера: . Если неравенство выполняется, то модель адекватна, если нет, то неадекватна.

13. Указать преимущества факторного планирования эксперимента?

14. Как проверить равноточность воспроизводимости отдельных опытов в ПФЭ и ДФЭ?

По критерию Кохрена: , то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

15. Как проверить значимость коэффициентов регрессии?

По критерию Стьюдента: . Если неравенство справедливо, то данный коэффициент признаём незначимым, а если нет, то оставляем его в нашей модели.

16. Как проверить адекватность представления результатов экспериментов выбранной математической моделью?

Дисперсия неадекватности: , где N>d. Если N = d, то мы не можем оценить адекватность нашей модели.

Для оценки адекватности модели пользуются критерием Фишера: . Если неравенство выполняется, то модель адекватна, если нет, то неадекватна. Неадекватность модели ещё не говорит о том, что модель неверна.

17. Как выбираются факторы планирования и шаги варьирования?

При планировании эксперимента проводят преобразования независимых переменных Xi относительно базовых значений Xi* в безразмерные переменные. Это дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования и значительно облегчает дальнейшие расчеты, т.к. при этом xiв=+1, Xiн=-1.

Шаг варьирования по каждой переменной выбирается таким образом, чтобы приращение Y к базовому значению Y* при реализации шага можно выделить на фоне “шума” при небольном числе параллельных опытов. При отсутствии оговорок, величину . Такой шаг дает достаточную гарантию того, что фактор Xi вызовет заметную реакцию Y, если связь между ними существует.