ПФЭ – называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на этих двух уровнях. Число этих комбинаций определяет тип планирования.

g 1 -1 -1 -1 2 +1 -1 -1 3 -1 +1 -1 4 +1 +1 -1 5 -1 -1 +1 6 +1 -1 +1 7 -1 +1 +1 8 +1 +1 +1

Требования:

1. Симметричность относительно центра эксперимента —

2. Условие нормировки

3. Ортогональность

4. Ротатабельность, т.е. координаты точек в матрице планирования подбираются таким образом, что точность предсказания значения параметра стабилизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

g	Порядок проведения эксперимента.	Планирование	Результаты	Обр. рез-тов
								1…	L	…m
1…	l	…m
1	7	6	3	+	—	—	—	+	+	+	—	Y11	Y1l	Y1m
2	1	3	1	+	+	—	—	—	—	+	+	Y21	Y2l	Y2m
3	3	7	6	+	—	+	—	—	+	—	+	Y31	Y3l	Y3m
4	6	1	2	+	+	+	—	+	—	—	—	Y41	Y4l	Y4m
5	2	2	4	+	—	—	+	+	—	—	+	Y51	Y5l	Y5m
6	5	8	5	+	+	—	+	—	+	—	—	Y61	Y6l	Y6m
7	4	5	8	+	—	+	+	—	—	+	—	Y71	Y7l	Y7m
8	8	4	7	+	+	+	+	+	+	+	+	Y81	Y8l	Y8m

Получается неполную неточную модель, в которой нет ни одного слагаемого при , но это допустимо т.к. квадратичное взаимодействие будет в точке экстремума.

При реализации плана необходимо:

1. В каждой точке этого плана необходимо получить выборку.

2. Надо воспользоваться рандомизацией, т.к. существует влияние неучтённых факторов.

Для каждой точки: ; . Для сравнения дисперсий можно воспользоваться критерием Кохрена или Бартлетта. Дисперсию эксперимента нужно считать по формуле: а) — для Кохрена; б) Средневзвешенная дисперсия по Бартлетту.

Если дисперсии неразличимы, то, стало быть, есть грубый промах: 1. Выбросить грубый промах; 2. На его место становится среднее арифметическое.

Теперь находим коэффициенты модели, проверяем их на значимость, проверяем адекватность модели.

;; т.к.

введём фиктивную переменную , тогда

Получаем исходные коэффициенты модели, т.е. нашли не истинные коэффициенты, а их оценки. Сравним их с НУЛЁМ – проверим на значимость.

.

Если неравенство справедливо, то данный коэффициент признаём незначимым, а если нет, то оставляем его в нашей модели. Количество значимых коэффициентов модели обозначим за d.

— Это наша модель. — Предсказанное значение выходной величины. Мерой отклонения экспериментальных данных от предсказанных служит дисперсия адекватности.

, где N>d. Если N = d, то мы не можем оценить адекватность нашей модели.

Для оценки адекватности модели пользуются критерием Фишера: . Если неравенство выполняется, то модель адекватна, если нет, то неадекватна. Неадекватность модели ещё не говорит о том, что модель неверна. Возможные причины неадекватности модели:

1. Постулируемый вид модели не подходит для описания данного объекта.

2. Существует фактор, оказывающий сильное влияние на выходную величину, которым экспериментатор не управлял.

3. Мы находимся на вершине параболы, в этом случае большое влияние оказывают квадраты факторов, которые в нашей модели отсутствуют.

4. Шаг варьирования факторов слишком мал (слишком велик). Рекомендуется брать 10-15% от базовой точки.

5. Слишком большой шум эксперимента.

Для обработки результатов измерений, которые характеризуются статистически различными дисперсиями строчных выборок, может быть применён взвешенный метод наименьших квадратов: , Т_i имеет одинаковые дисперсии во всех точках факторного эксперимента.

Пример ПФЭ

Пусть влияют факторы: X1 – Чистый (+1) или Грязный (-1) стаканчик. X2 – Температура подогрева подложки 3600(-1) и 3800(+1) X3 – Температура испарителя

Установка по напылению.

Составляем план ПФЭ:

g	X0	X1	X2	X3	X1X2…
1	+	—	—	—	…………	12.6	1.97	0.25
2	+	+	—	—	…………	17.3	2.33	0.16
3	+	—	+	—	…………	10.8	1.65	…
4	+	+	+	—	…………	20.0	2.86	…
5	+	—	—	+	…………	13.8	1.35	…
6	+	+	—	+	…………	12.4	1.44	…
7	+	—	+	+	…………	16.3	3.25	…
8	+	+	+	+	…………	14.4	1.71	…

<

Если нер-во выполняется, то самая большая дисперсия не отличается от других, следовательно, можем определить дисперсию опыта. Дисперсия один из самых грубых параметров статистики по способу их нахождения.

Ряд тоже ряд С.В., но числа в квадрате и он подчиняется распределению c² Пирсона.

;

Определим коэффициенты модели:

; ; ;; ; ; ; .

Ни один коэфф. Кроме b₀ не может быть больше других в 10 раз. Если не один коэфф. Нельзя отбросить то мы потеряли один (несколько) значимых факторов. У нас не осталось степеней свободы. Значимость коэффициентов определяется критерием Стьюдента.

Т.к. . Упростим и получим , а . Все числа, которые больше табличного значения должны войти в модель, а остальные отбрасываем.

Получили следующую модель: . Число членов уравнения –d.Находим дисперсию адекватности:

(m элементов содержит выборка для каждого ). Когда 1-ца в числителе – жесткая оценка, Когда m – мягкая оценка- верхняя и нижняя границы существования модели. Для оценки адекватности модели пользуются критерием Фишера: . Т. е. Условие не выполняется, и модель неадекватно описывает объект.

Неадекватность модели не означает её неправильность, всё сделано правильно, но что-то недоделано.

1. Неполный список факторов.

2. Слишком много выброшенных коэффициентов.

3. Противоречие в самой модели.

Если внутри модели есть противоречия, то они могут возникнуть от слишком точных измерений. Необходимо либо переделать эксперимент, либо обработать его более грубым методом. Таким методом является дробный факторный эксперимент.