Нахождение математической модели любым из известных методов и подтверждение ее адекватности результатам эксперимента неизбежно ставит вопросы об области (коридоре) существования модели и о её информационной ценности. Действительно, как всякая регрессия уравнение модели в любой форме, в том числе и полиноминальной, представляет собой уравнение геометрического места точек математических ожиданий многомерных распределений, полученных в соответствующих сечениях факторного пространства.

Поскольку одной из основных предпосылок обсуждённых методов является предварительная проверка целевой функции на соответствие её распределения нормальному закону, то вопрос о коридоре существования модели может свестись к вопросу о крутости функции плотности вероятности условного распределения которое заведомо должно быть нормальным. Это обстоятельство позволяет вместо неудобной характеристики крутости условного распределения свести вопрос к его дисперсии (среднеквадратическому отклонению) или, через известные статистические соотношения, к ширине коридора существования ±DY при определенной доверительной вероятности.

Анализ показал, что наибольшее значение имеют ошибки исходных данных, на фоне которых оказываются несущественными погрешности измерения и погрешности вычисления (в десятки и сотни раз меньше). Наиболее грубые ошибки исходных данных исключает из рассмотрения сама процедура поиска модели (например, в ММСБ самоочищение данных происходит дважды – при определении грубых промахов по столбцам и, более тонкое, при расслоении результатов эксперимента по строкам). Что же касается формы закона распределения, то здесь следует четко различать форму распределения факторов (рассмотренные в разделе 7 процедуры поиска моделей свободны от неё) и форму распределения ошибок факторов. Ошибки факторов, оставшиеся после первичной очистки, не играют никакой роли в ММСБ, так как факторы превращаются в условные кодированные координаты точек проведения факторного эксперимента. Ясно что и форма распределения ошибок факторов в данном методе не имеет значения. Что касается МНКО, то оставшиеся после первичной очистки ошибки факторов не могут превышать третьей части диапазона варьирования и, следовательно, могут оказывать достаточно сильное влияние на коридор существования модели.

С учетом сказанного, по-видимому наиболее целесообразно для целей определения точности найденной модели по пассивным данным рассчитывать коридор существования ±DY выходной величины как среднее арифметическое диапазона существования выходной величины ±DY_j в каждой j-й строке плана (матрицы X), которые можно найти по формуле

(9.5)

где t_j(q; n_j) — табличное значение критерия Стьюдента для q — уровня значимости и числа степеней свободы выборки строки объемом m_j; X_j — j-я строка матрицы исходных данных; — дисперсия выборки j-й строки.

Анализ формулы (9.5) позволяет заметить еще один путь определения коридора существования модели , а именно, если величину S{Y} заменить на средневзвешенную дисперсию , матрицу исходных данных X взять целиком, а вместо t_j использовать величину t, определенную для среднего объема выборки по строкам.

Предлагаемая формула может быть использована как при МНКО, так и при ММСБ. Однако следует заметить, что в случае МНКО определение величины будет вызывать затруднение в силу того, что, как правило, строки исходной матрицы X не повторяются. Здесь возможны два пути. Либо ставятся специальные дублирующие опыты (желательно в центре исследуемой области), либо, если это невозможно, прибегают к оцениванию верхней границы дисперсии где — дисперсия распределения выходной величины. Коэффициент определился из центральной предельной теоремы, в силу которой минимальное число равнодействующих факторов независимо от закона их распределения для получения нормально распределенной выходной величины есть 4. Что касается критерия t_j, то в силу сравнительно малого изменения его величины в широком диапазоне объемов выборок, для оценивания предельно возможной ширины коридора существования модели можно использовать некоторое усредненное значение, например

В случае ММСБ все вышеприведенные особенности исчезают и формулой (9.5) можно пользоваться непосредственно. Однако, для быстрой оценки коридора существования модели можно принять во внимание (с некоторой пренебрежимой ошибкой), что в силу почти ортогональности конечного плана матрица должна представлять собой диагональную матрицу с числами по главной диагонали. Принимая во внимание, что матрица исходных данных X есть план эксперимента в относительных координатах, можно считать, что выражение Тогда выражение (9.5) превратится в

или (9.6)

Как известно, на одном и том же массиве исходных данных можно построить несколько адекватных математических моделей, причем необязательно с одним и тем же перечнем значимых факторов. В силу адекватности все эти модели имеют право на существование, однако, точность описания ими выходной величины различна. В принципе ее можно оценить по величине коридора существования модели, однако в большом количестве случаев по вышеупомянутым причинам сама величина коридора является оценкой, иногда довольно грубой. Поэтому предлагается о качестве модели судить по количеству информации, которое она может дать, то есть по информационной ёмкости.

Представим исследуемый объект контроля в виде двух систем: систем факторов X и системы выходных показателей качества Y. В случае, когда не имеется математического описания взаимодействия этих систем, энтропии их равны H(X) и H(Y), а энтропия объединенной системы будет максимальна и равна После получения сведений о характере взаимодействия обеих систем X и Y в виде математической модели «остаточная» энтропия и есть информация

(9.7)

Согласно известной теореме, энтропия объединённой системы (в данном случае математической модели) равна энтропии одной из её составных частей плюс условная энтропия второй части относительно первой, то есть

(9.8)

где — условная энтропия модели системы относительно X.

Подставляя (9.7) в (9.8), получим выражение для полной информации о системе Y, содержащейся в системе X, с помощью модели системы

(9.10)

Это означает, что количество информации, получаемое за счёт знания характеристик взаимодействия (математических моделей) систем Y и X равно разности двух энтропий: энтропии системы, состояние которой описывается случайной величиной Y с определенным рядом распределения (его можно представить в виде гистограммы опытных данных величина центра j-го разряда гистограммы, n — число разрядов), и условной энтропии модели системы при условии, что система X находится в состоянии Z_ki, то есть каждый k-й эффект включенный в модель, находится в i-м состоянии При этом значение Z_ki есть величина центра i-го разряда гистограммы эффекта Z_k (напомним, что под эффектом Z_k понимаются вошедшие в модель факторы, их квадраты, их парные взаимодействия и т.д.).

Определим слагаемые, входящие в выражение (9.9). Величина есть энтропия системы выходных показателей качества исследуемого объекта, которая принимает различные состояния, характеризующиеся вероятностью попадания случайной величины в соответствующий разряд гистограммы распределения. Рассчитывается эта величина по известной формуле на основе результатов измерений

(9.10)

где — вероятность нахождения случайной величины Y в j-м состоянии.