При создании автоматизированных систем управления технологическими процессами (особенно в условиях гибкой технологии) приходится одновременно решать несколько технических задач, среди которых одно из центральных мест занимает задача сбора и статистической обработки измерительной информации о ходе конкретного технологического процесса с целью получения его математического описания в виде модели. Математическую модель можно использовать не только для управления оптимизации этого технологического процесса (ТП), но и для выделения наиболее информативных параметров, по которым можно построить рациональную систему контроля, так как необоснованно большое количество измеряемых параметров приводит к резкому увеличению трудоемкости контрольно-измерительных операций (например, при производстве микросхем до 30-50% общей трудоемкости).

Задача значительно усложняется при переходах от одной базовой технологии к другой. Таким образом, вопрос сводится к созданию методики, позволяющей находить полноценные математические модели ТП (или других объектов) в кратчайшие сроки с минимумом исходной информации.

Обычно предлагается исследуемый объект контроля (ОК) рассматривать как функциональный преобразователь типа “черный ящик”, что при проведении многофакторных экспериментов для получения модели ОК требует большого числа опытов. Для сокращения их используют различные упорядоченные методики (экстремальной группировки, корреляционных плеяд, частных описа-ний и т.п.).

Однако такой ОК, как технологический процесс производства ИМС, априори представляет собой систему взаимодействующих и взаимосвязанных операций. Подобные структурные особенности ОК являются своего рода ограничениями, уменьшают неопределённость исходной модели, то есть несут добавочную информацию. Для оценки количества этой информации, а, следовательно, и реального выигрыша, который можно от неё получить, наиболее перспективным направлением, является использование энтропийной меры.

Энтропийная мера

(9.1)

по своему смыслу представляет максимальное количество информации, которое может содержаться в случайной величине x ? X, определяющей состояние ОК, или максимальную энтропию системы. Этот максимум достигается, когда все состояния x, отличающиеся друг от друга на величину порога различимости e, равновозможны (общее число таких состояний N_e), то есть H(x) совпадает с энтропией по Хартли. Энтропия системы H определяет число экспериментов для снятия неопределенности системы. При двухуровневой вариации факторов (опыты полного факторного эксперимента) общее число экспериментов равно . Следовательно, величина

(9.2)

показывает, во сколько раз уменьшается количество экспериментов при идентификации параметров ОК с известной структурой (H_сист) по сравнению с функциональным преобразователем типа “черный ящик” (Н_чя), и является основной числовой характеристикой, определяющей стратегию моделирования.

Как правило, большинство сложных ОК имеет иерархическую структуру, которую более удобнее всего описывать в терминах теории графов. Если представить граф (рис. 9.1) как множество корневых (конечных) вершин (это могут быть выходные показатели качества ОК), множество промежуточных величин (выходные параметры технологических операций) и множество инцидентных вершин (режимы операций), которые соединены рёбрами там, где между ними имеется связь, то можно сформировать матрицу инциденций (табл. 9.1). В этой матрице число 2 (число уровней варьирования каждого фактора) ставится на пересечение тех строк и столбцов, которые имеют связь согласно графу ОК, и 0 там, где такая связь отсутствует. Матрица позволяет получить правильную декомпозицию ОК на части, модели которых искать много проще, чем глобальную модель ОК. Для этого достаточно выписать в качестве целевых функций заголовки столбцов, а в качестве факторов – соответствующие ненулевые элементы строк.

Рис. 9.1. Условный пример графа некоторого объекта контроля

Согласно (9.1) легко подсчитать энтропию системы (H_сист)

, (9.3)

где — нумерация столбцов матрицы; — нумерация части строк матрицы, из которых первые m введены формально и не соответствуют никаким реальным строкам; N_f – число ненулевых элементов в f-м столбце; N_p равен либо 1, если р?0, либо числу ненулевых элементов р-й строки, если р>0.

Таблица 9.1

Матрица инциденций

	Zl	Yj
Z1	Z2	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7
Y1 Y2 Y3 Yj Y4 Y5 Y6 Y7 X1 X2 X3 X4 Xi X5 X6 X7 X8	2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0	0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2

Z₁ = f(Y₁, Y₂); Z₂ = f(Y₂, Y₃, Y₄, Y₇);

Y₁ = f(Y₅, X₁); Y₂ = f(Y₆);

Y₂ = f(Y₆); Y₃ = f(Y₆);

Y₅ = f(X₂, X₃); Y₄ = f(Y₇, Y₄, Y₅);

Y₆ = f(X₃, X₄); Y₆ = f(X₃,X₄);

Y₇ = f(X₆, X₈).

Если во внимание принимать только входные и выходные параметры ОК без учета промежуточных, как это делается при неизвестной структуре, то можно подсчитать величину энтропии (Н_чя)

или .

Для нашего конкретного примера Н_чя = 9 бит, а величина энтропии системы по выражению (9.3) и табл. 9.1 равна Н_сист= log₂(1?2² + 1?2⁴ + 1?2² + 2?2¹ + 1?2³ + +1?2² + 2?2² + 1?2²)= 5,75 [бит]. Откуда согласно (9.2) количество информации, полученное дополнительно за счет априорного знания структуры ОК, равно , а количество экспериментов, необходимых для получения модели ОК, сокращается в 2^I = 9,5 раз. Величину I можно использовать в качестве критерия, позволяющего оценивать эффективность структурной процедуры. При I=0 ситуация не несет дополнительной информации, а при I>0 множество ситуаций, соответствующих данному условию, в большей или меньшей степени позволяют рационально построить систему контроля. Алгоритм оценки эффективности структурного разбиения изображен на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Алгоритм оценки эффективности структурного разбиения

Дополнительным источником сокращения количества экспериментов может стать устранение моделей, где целевая функция зависит от одного фактора. Этот фактор следует включить непосредственно в модель более высокой степени иерархии, а промежуточные параметры исключить из числа контролируемых как не несущих сколько-нибудь отличную от других параметров информацию. Для нашего примера это эквивалентно уничтожению строк и столбцов Y₂ и Y₃, и поиска моделей и Тогда граф ОК и матрица инциденций изменяются и величина энтропии системы станет равной Н_сист= log₂(1?2² + 1?2³ + +1?2² + 1?2³ + 1?2² + 2?2² + 1?2²)= 5,32 [бит], а количество дополнительной информации I=3,68 что соответствует сокращению необходимого количества экспериментов в 12,8 раза.

Понятно также, что выигрыш в количестве экспериментов (а значит и во времени расчета математической модели очередного типа ТП) возрастает, если каждый исследуемый фактор варьируется не на двух (как показано выше), а на 3-х, 4-х и более уровнях (правда, при этом резко возрастает минимально необходимое число экспериментов, что нежелательно, но выбор числа уровней варьирования не всегда зависит от исследователя).

Кроме того, дополнительным преимуществом использования структурного подхода к исследованию ТП является представление процесса в виде матриц инциденций, которые легко вводятся и обрабатываются в любой ЭВМ. Это составляет основу для разбиения сложного ОК на более простые части, модели которых, в силу уменьшения числа производственных факторов из первоначального списка, найти значительно легче.

Отметим, что вышеизложенный подход позволил связать информационный метод анализа структуры ОК с теорией планирования экспериментов. Отметим также, что в случаях, когда математическая модель между выходными параметрами Y технологического процесса, реализуемого подсистемой, и параметрами процесса X оказывающими непосредственное влияние на параметры Y, уже известна, то рекомендуется использовать именно информационный подход к оценке параметров подсистем, суть которого сводится к оценке количества информации от Y, полученной путем измерения X. При этом одна из переменных реагирует на изменения другой, вообще говоря, изменением своего закона распределения.