Рассмотрим алгоритм и особенности поиска оптимальной точки в условиях ограничений с помощью метода крутого восхождения на примере функции отклика, определенной в области D_n (рис. 8.13) двухфакторного пространства. Условия ограничений видны из рисунка.

На первом этапе поиска осуществляется полный факторный эксперимент с центром в начальной точке . Техника его проведения аналогична эксперименту при обычном методе крутого восхождения, однако, в отличие от последнего, в данной экспериментальной точке измеряются не только значения целевой функции , но и других выходных параметров то есть и . Статистическая обработка данных ПФЭ также выполняется по стандартной схеме, то есть проверяется воспроизводимость опытов, значимость коэффициентов уравнения регрессии, адекватность линейной аппроксимации

, (8.31)

где х_i – обычное стандартизированное значение фактора Х_i.

Рис. 8.13. Пример формирования области допустимых значений целевой функции для двухфакторного пространства

Если при осуществлении факторного эксперимента ни в одной из пробных точек ограничения (8.29) и (8.30) не были нарушены, то из центра планирования производится крутое восхождение в направлении . Для того чтобы не зависел от скорости возрастания функции в любой точке его составляющие следует пронормировать

; . (8.32)

Затем, как обычно, рассчитывается траектория мысленного движения к оптимуму и в некоторых точках этой траектории (как правило, через 2-3 мысленных шага) производится измерение отклика . При этом обязательно проверяется значение других выходных параметров .

Крутое восхождение прекращается если:

1) значение целевой функции проходит через максимум и начинает убывать;

2) нарушается ограничение типа (8.30). Для корректировки направления движения ставится новый ПФЭ с центром в точке (см. п.8 раздела 8.7).

За новый центр планирования в первом случае принимается точка, где целевая функция имела максимальное достигнутое значение, во втором – последняя из точек факторного пространства, где был реализован мысленный или натуральный опыт и еще не нарушалось ограничение типа (8.30). Если причиной останова послужило нарушение ограничения типа (8.30), то следующий цикл крутого восхождения производится по компромиссному направлению , которое выбирается таким образом, чтобы изображающая точка двигалась в сторону возрастания уровня отклика , одновременно удалялась от границы внутрь допустимых значений области D_n.

Для этого необходимо предварительно найти вектор , нормальный к эквипотенциальной поверхности и ведущий в область допустимых значений. Для формирования вектора наряду с гиперплоскостью (8.31) рассчитывается также линейная аппроксимация

(8.33)

и вектор наискорейшего возрастания параметра

,

который также подлежит нормированию

; . (8.34)

Очевидно, что если в окрестности точки нарушается ограничение по минимальной границе , то вектор направлен внутрь допустимой области D_n, если же нарушено ограничение по максимальной границе , то он ведет из допустимой области и должен быть заменен на противоположный.

Таким образом, после нормирования вектора имеем

(8.35)

Следовательно, искомый компромиссный вектор

(8.36)