Экспериментально-статистические методы оптимизации предусматривают планомерное изменение управляемых факторов Х₁, X₂,…, Х_n вплоть до достижения экстремума целевой функции в точке . В большинстве практических случаев, однако, встречаются ситуации, когда какие-либо комбинации факторов являются нежелательными, так как приводят к нарушениям нормального хода технологического процесса или к экономически невыгодным показателям.

Диапазон варьирования факторов Х₁, X₂,…, Х_n помимо того, что имеет собственные пределы

, (8.29)

дополнительно ограничивается наличием в реальном технологическом процессе ряда контролируемых выходных параметров , которые зависят от тех же факторов.

Как правило, аналитическая зависимость целевой функции и контролируемых параметров неизвестна, и их значения для каждой точки факторного пространства могут быть определены только экспериментально.

На значения контролируемых параметров обычно накладываются ограничения

, (8.30)

которые вместе с ограничениями для факторов (8.29) выделяют в факторном пространстве область допустимых значений.

На рис. 8.13. дан пример формирования области допустимых значений для двухфакторного процесса D_n. Концентрические кривые показывают линии равных значений целевой функции . Ограничениям (8.30) в факторном пространстве также соответствуют поверхности равных значений. Штриховка нанесена с той стороны границ, где пребывание точки поиска недопустимо. Ясно, что часть ограничений может быть при этом излишней, так как их требования могут перекрываться более жесткими условиями, задаваемыми другими ограничениями. Это обстоятельство во многих случаях исследователю неизвестно, как неизвестно, находится ли точка экстремума целевой функции в области D_n или вне её. В такой ситуации задача оптимизации при наличии ограничений математически формулируется как задача поиска условного экстремума, когда требуется найти максимум на подмножестве значений , принадлежащих области D_n.

Очевидно, что формальное применение рассмотренных ранее методов поиска для определения условного экстремума в большинстве случаев не может привести к успеху. Эти методы должны быть модифицированы с учетом особенностей, возникающих из-за наличия ограничений. При этом оказывается, что различные методы поиска в разной степени удобны для решения задач поиска условного экстремума. Так, например, метод Гаусса-Зайделя, будучи хорошо приспособлен для работы при ограничениях типа (8.29), оказывается несостоятельным, когда имеют место ограничения типа (8.30). Метод случайного поиска, в целом сохраняя свою работоспособность, может в значительной степени потерять свою эффективность. В настоящее время при поиске экстремума в условиях ограничений наибольшее применение находят градиентные методы и прежде всего метод крутого восхождения.

До тех пор, пока точка поиска находится внутри области D_n, все процедуры, характерные для этих методов, могут использоваться без изменений, то есть так, как они были описаны ранее. Единственным отличием является необходимость на каждом шаге, при реализации каждого опыта осуществлять проверку выполнения ограничений – аналитически для ограничений типа (8.29) и экспериментально – для ограничений типа (8.30). И только если окажется, что имеет место нарушение одного или нескольких ограничений, может потребоваться ввести изменения в алгоритм определения направления движения последующего шага поиска.