Экспериментальное определение оптимума функции осуществляется с помощью следующей процедуры.

1. Преобразование исходных факторов с таким расчетом, чтобы изменение каждого из них на единицу приводило приблизительно к одинаковому изменению целевой величины то есть нахождение соответствующих значений шагов варьирования .

2. Расчет координат начального симплекса по одному из приведенных выше способов.

3. Проведение эксперимента в точках, соответствующих координатам начального симплекса, и измерение значения целевой функции.

4. Отбрасывание точки плана с наименьшим значением целевой величины и построение нового симплекса. Новый симплекс образуется оставшимися вершинами исходного симплекса и новой вершиной, получаемой путем зеркального отображения отброшенной вершины относительно противоположной ей (n-1)-мерной грани исходного симплекса. Координаты новой точки x^* рассчитываются следующим образом:

, (8.4)

где j – номер переменной х; k – номер вершины исходного симплекса с наименьшим значением целевой функции. Можно прогнозировать значение целевой величины в новой точке:

. (8.5)

5. Проведение эксперимента в новой точке и получение соответствующего значения целевой величины.

6. Последовательное перемещение симплекса, в процессе которого на каждом шаге происходят отбрасывание вершины симплекса с наихудшим значением целевой величины и реализация опыта в новой вершине. При этом направление движения центра симплекса колеблется около направления градиента. Два возможных вида перемещения центра симплекса представлены на рис. 8.4.

7. Если при перемещении симплекса на протяжении (n+1) шагов та или иная вершина сохраняет свое положение, то симплекс совершает оборот вокруг этой вершины (рис. 8.5). Это означает, что, либо в данной точке находится оптимум целевой функции, либо значение целевой функции в этой вершине определено неверно. Чтобы уточнить, какая ситуация имеет здесь место, в этой точке вновь проводят эксперимент, и в дальнейшем работают с новым значением целевой величины.

Рис. 8.4. Виды движения центра симплекса в направлении экстремума

8. Если оказывается, что целевая величина в новой вершине симплекса меньше, чем в остальных вершинах, то в соответствии с логикой движения следует возвратиться к предыдущему симплексу. Чтобы предотвратить “зацикливание”, в качестве обрабатываемой выбирают вершину, в которой целевая функция имеет величину, следующую по порядку за наихудшей вершиной симплекса. Дальнейшее движение продолжают, реализуя эксперимент в точке, расположенной “зеркально” отброшенной вершине.

9. Если новая вершина выходит за пределы допустимой области планирования, следует поступать так же, как и в п. 8.

Рис. 8.5. Поведение симплекса вблизи экстремума

10. При достижении области оптимума размер симплекса уменьшают (как правило, на ? начальной величины).

11. Оптимум считается достигнутым, если одна и та же вершина входит в последовательные симплексы N раз, где

N =1,65n + 0,05 n², 2 ? n ? 30. (8.6)

Другим условием достижения оптимума является неравенство

, (8.7)

где e — допустимая относительная ошибка (уровень значимости); — среднее значение целевых функций в вершинах симплекса.

12. Если ошибка эксперимента относительно велика, целесообразно в каждой вершине симплекса провести несколько опытов и использовать усредненное значение наблюдений целевой функции.

В процессе шагового движения (от симплекса к симплексу) в сторону экстремума поверхности целевого отклика может иметь место ее дрейф, а в результате него — инверсия во времени порядка вершин симплекса в их ранжировке по истинным значениям откликов. В этом случае необходимо провести новые наблюдения (опыты) в тех вершинах последнего симплекса, которые были реализованы приблизительно 2(n+1) шагов назад. Это правило приобретает тем большее значение, чем больше размерность симплекса, так как при большом числе вершин интервал времени между опытами в новой (зеркальной) вершине последнего симплекса и самой старой из принадлежащих ему вершин может быть значительным. Тогда за это время из-за дрейфа поверхности отклика в старых вершинах могут существенно измениться количественные значения откликов и экспериментальные значения этих откликов надо уточнить (сделать поверхностные опыты).