Симплекс называют регулярным, если расстояния между всеми точками, образующими симплекс (то есть между вершинами симплекса), одинаковы.

Существуют два способа задания координат вершин начального симплекса (рис. 8.3). При первом способе одну из вершин помещают в начало координат, а остальные располагают таким образом, чтобы ребра, исходящие из первой вершины, образовывали одинаковые углы с соответствующими координатными осями.

а) б)

Рис.8.3. Первый а) и второй б) способы задания начального симплекса

Координаты вершин симплекса в этом случае могут быть представлены следующей матрицей (табл. 8.1)

Таблица 8.1

Матрица координат вершин начального симплекса

при задании его первым способом

Номер вершины, j	Координаты вершин, xi
x1	x2	x3	…	xn-1	xn
1	0	0	0	…	0	0
2	p	q	q	…	q	q
3	q	p	q	…	q	q
…	…	…	…	…	…	…
n	q	q	q	…	p	q
n+1	q	q	q	…	q	p

Здесь ; .

Длину l ребра симплекса (то есть расстояние между вершинами симплекса) примем равной единице (l=1).

Такое построение возможно лишь при переходе от абсолютных значений факторов X_i к относительным x_i и при переносе начала координат в базовую точку факторного пространства X*. При этом за длину ребра L в абсолютных единицах измерения можно принять расстояние между верхними и нижними уровнями варьирования фактора X_i, равное шагу варьирования DX_i (аналогично тому, как устанавливается относительная переменная в полном факторном эксперименте), что в относительной системе всегда равно единице:

;

.

Второй способ задания начального симплекса заключается в том, что в точку начала координат помещают центр симплекса (центр симметрии, центр тяжести, центр плана эксперимента), а (n+1)-ю вершину на ось x_n (рис. 8.3б). Остальные вершины располагаются симметрично относительно координатных осей. Координаты вершин начального симплекса в этом случае определяются матрицей, представленной в табл. 8.2.

При l=1 длине ребра симплекса величины

; ; .

Таблица 8.2

Матрица координат вершин начального симплекса

при задании его вторым способом

Номер вершины, j	Координаты вершины, xi
x1	x2	x3	…	xn-1	xn
1	-r1	-r2	-r3	…	-rn-1	-rn
2	R1	-r2	-r3	…	-rn-1	-rn
3	0	-R2	-r3	…	-rn-1	-rn
…	…	…	…	…	…	…
n	0	0	0	…	Rn-1	-rn
n+1	0	0	0	…	0	Rn

В основе использования симплекса для целей оптимизации лежит следующее его важное свойство: из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, получить новый симплекс, добавив всего лишь одну точку. Путём последовательного отбрасывания вершин можно осуществлять перемещение симплекса в факторном пространстве, причём это перемещение будет происходить с каждым экспериментом, поставленным в его вершинах. При этом направление смещения центра симплекса в среднем близко к направлению градиента функции отклика.

Немаловажным вопросом является вопрос о размерах симплекса. Выбор малых величин DX_i приведёт к тому, что разница между откликами в вершинах может быть соизмерима с величиной помех (ошибками всех видов, флуктуациями), что, в свою очередь, приведёт к необходимости многократного дублирования экспериментов и принятия решений о движении на основе средних арифметических откликов в вершинах симплекса. Это позволяет к достаточно чётко локализовать точку экстремума (оптимума), однако существенно увеличивает количество потребных опытов и число шагов к области экстремума. Гораздо удобнее работать с симплексами большого размера (большие величины DX_i), где можно ставить только по одному опыту в вершинах и быстро выходить в область экстремума. Уже в этой области можно определить точку экстремума путём уменьшения размера симплекса или перехода к планированию второго порядка.