При оптимизации по методу Гаусса-Зайделя последовательное приближение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждым параметром до достижения частного экстремума выходной величины. Другими словами, изображающая точка перемещается поочередно вдоль каждой из координатных осей факторного пространства X_i (i=1,…,n), причем переход к новой (i+1) координате совершается по достижению частного экстремума целевой функции на предыдущем направлении, то есть в точке , где

.

Достигнув частного экстремума на последней координате переходят снова к варьированию первой и т.д. Таким образом, характерной особенностью метода является необходимость продолжительной стабилизации всех факторов (параметров процесса), кроме одного, по которому происходит движение.

Направление движения вдоль (i+1)-й координатной оси выбирается по результатам двух пробных экспериментов (измерений отклика и в окрестностях базовой точки (то есть точки частного экстремума по предыдущей i-ой переменной).

Рис. 8.2. Последовательность экспериментального движения к экстремуму

методом Гаусса-Зайделя

При практическом использовании метода Гаусса-Зайделя (на примере оптимизации двухфакторного процесса, см. рис.8.2) рекомендуется следующая последовательность операций.

1. Определяется начальная точка движения к оптимуму. В реальных условиях отвечает принятому технологическому режиму.

2. Задается шаг варьирования ?Х_i по каждой независимой переменной X_i (i=1,2).

3. Для выяснения направления движения в первом рабочем цикле (вдоль оси Х₁) совершается пробное движение с центром в начальной точке. С этой целью из начальной базовой точки вариацией параметра X₁ по DX₁ и -DX₁ выполняется два пробных шага

;

,

где производится однократное измерение отклика

, g=1,2.

4. Осуществляется сравнение значений отклика в пробных точках и результаты его выражаются с помощью функции y

.

5. Осуществляется первый цикл рабочего движения (с тем же шагом DX₁) в направлении возрастания уровня . Последовательные точки этого движения, очевидно, будут:

6. После каждого рабочего шага производится измерение значения отклика

…..; .

7. Первый цикл рабочего движения прекращается по достижении в некоторой точке частного экстремума целевой функции по соответствующей переменной

.

Критерием останова служит выполнения неравенств

.

8. Точка является исходной для следующего цикла рабочего движения (вдоль X₂) и, одновременно, базовой для новых пробных экспериментов в точках

.

9. Дальнейшая процедура, связанная с выбором направления и организацией второго цикла рабочего движения к оптимуму, целиком аналогична описанной выше. Изображающая точка в факторном пространстве занимает при этом последовательные положения

или

10. По окончании второго цикла рабочего движения переходят к третьему (вновь по оси Х₁) и т.д.

Поиск прекращается в некоторой точке , любое движение из которой приводит к уменьшению значения выходного параметра. С точностью до максимального шага варьирования (DX_i)_max это и будет точка экстремума целевой функции . Считается целесообразным уменьшать шаг DX_i по мере приближения к экстремуму.

Следует заметить, что если в пробном движении по i-й переменной оба шага оказались неудачными , то переходят к варьированию следующим (i+1) параметром.

Метод Гаусса-Зайделя достаточно прост для практической реализации, достаточно помехоустойчив. Недостатком его можно счесть не самый короткий путь к точке экстремума. Другим недостатком метода является тенденция к ложной остановке процедуры, если в ходе движения поисковая точка окажется на узком “гребне” (см. рис.8.2). Для полной уверенности в достижении именно точки экстремума (если нет теоретических соображений на этот счёт) рекомендуется дважды и трижды повторить всю процедуру поиска из разных исходных точек и прекратить её при достижении одной и той же области .