Рассмотрим применение ортогональных полиномов Чебышева для случая многомерной регрессии. Неизвестную нам связь между выходной величиной Y и факторами Х_j

будем искать в виде следующего полинома, включающего эффекты факторов и их взаимодействий,

(7.5)

где n — количество рассматриваемых факторов; m – количество рассматриваемых эффектов.

С учетом предварительной ортогонализации исходный полином (7.5) может быть представлен в следующем виде

, (7.6)

где m+1 — число членов уравнения регрессии, в общем случае может быть равно числу всех n факторов во всех степенях от 0 до р плюс число всех С²_nС²_р парных взаимодействий, плюс соответствующее число тройных взаимодействий, плюс и т.д. до исчерпания всего списка факторов. На практике, однако, имея в виду обработку пассивной контрольно-измерительной информации, степень р каждого фактора Х_i не превышает 2, а число взаимодействий ограничивается парными, т.е. общее число членов уравнения регрессии, как правило, не превышает . При этом, для удобства работы следует произвести замену переменных и вместо эффектов факторов Х_i и их взаимодействий различных порядков ввести единую переменную Z_k, k=0…m. Следует отметить, что степень полинома Y_k(Z) совпадает с номером столбца k рассматриваемых эффектов Z_k в матрице исходных данных. Тогда именно на полиномы Y_k(Z) следует наложить условие ортогонализации

(7.7)

Решением системы уравнений (7.7) будет достаточно простая итеративная процедура

(7.8)

где

(7.9)

Задача определения оценок коэффициентов b_k уравнения (7.5) сводится к нахождению коэффициентов A_k при ортогональных полино­мах в (7.6) исходя из условий минимизации остаточной суммы квадратов

. (7.10)

Дифференцируя (7.10) по каждому коэффициенту А_k и приравнивая результат дифференцирования к нулю, получаем систему (m+1) линей­ных уравнений решением которой будет выражение для расчета А_k

. (7.11)

Из полученной формулы видно, что все коэффициенты А_k опреде­ляются независимо друг от друга, так как рассматриваются на осно­ве ортогональных полиномов различных порядков. Следовательно, вопрос о включении в уравнение (7.6) каждого коэффициента А_k может решаться в индивидуальном порядке по критерию Стъюдента. Для этого предварительно рассчитывается среднеквадратическое отклонение очередного коэффициента А_k

_, (7.12)

где S²(Y) — средняя (или средневзвешенная) дисперсия выходной величины по неповторяющимся строкам плана (может быть определена специальными дублирующими экспериментами в любой точке изучаемой области факторного пространства, лучше всего в центре). В крайнем случае для оценки средней дисперсии можно взять эмпирическую дис­персию распределения выходной величины, делёную на 4 (минималь­ное число равнодействующих составляющих, которые может дать нор­мальное распределение).

Величина S(A_k) — подставляется в выражение для расчетного кри­терия Стьюдента

, (7.13)

которая сравнивается с табличным при q уровне значимости и n = N -1 числе степеней свободы. При выполнении условия (7.13) коэффициент А_k признается значимым и должен быть включен в урав­нение.(7.6), в противном случае — нет.

Проверка адекватности уравнения (7.6) экспериментальным данным осуществляется как обычно с помощью критерия Фишера. В случае положительного решения можно переходить к отысканию оценок b_k в уравнении (7.5).

Простейшим методом отыскания b_k является метод подстановок соответствующих конкретных значений Y_k(Z) в (7.6) и приведение подобных членов. Выражения, стоящие перед каждым Z_k и являются искомыми оценками коэффициентов b_k. Результат легко может быть вычислен при любой комбинации значимых Y_i(Z). Например, если m=3 и все Y_i(Z) значимы, то при подстановке получается:

=A₀Y₀(Z) + A₁Y₁(Z) + A₂Y₂(Z) + A₃Y₃(Z) = A₀ + A₁(Z₁—x₁₀) + A₂[Z₂ — x₂₀ — x₂₁(Z₁ — — x₁₀)] +A₃{Z₃ —x₃₀ — x₃₁(Z₁ — x₁₀) — x₃₂[Z₂ — x₂₀ — x₂₁(Z₁ — x₁₀)} = A₀ + A₁Z₁ — A₁x₁₀ + + A₂Z₂ — A₂x₂₀ — A₂x₂₁Z₁ + A₂x₂₁x₁₀ + A₃Z₃ — A₃x₃₀ — A₃x₃₁Z₁ + A₃x₃₁x₁₀ — A₃x₃₂Z₂ + + A₃x₃₂x₂₀ + A₃x₃₂x₂₁Z₁ — A₃x₃₂x₃₁x₁₀.

При приведении подобных членов определяются и коэффициенты модели в декартовой системе координат:

(7.14)

Аналогичным образом можно определить коэффициенты b_k при любом количестве членов модели. Необходимо отметить, что с ростом числа членов уравнения (7.6) поиск коэффициентов b_k усложняется. При этом следует обратить внимание на то обстоятельство, что если в уравнении (7.6) часть полиномов Y_i(Z) оказалось незначимыми, то это вовсе не означает, что соответствующие им коэффициенты b_i тоже окажутся незначимыми. Вполне возможно, что они войдут в конечное выражение модели в декартовых координатах, проникнув туда опосредовано за счёт других членов (см. пример 2).

Алгоритм расчета математической модели по методу МНКО представлен на рис.7.3.