Математические модели, найденные с помощью ММСБ, в большинстве практических случаев удовлетворяют задачам прогнозирования выходного показателя качества управления технологическим процессом. Однако, как всякая неполная квадратическая модель, выражение типа (5.10) перестает правильно работать в области факторного пространства, близкой к экстремуму, т.е. когда необходимо переходить к планированию второго порядка. В принципе ММСБ пригоден для планирования второго порядка, но, видимо, не всегда, так как пассивный эксперимент может и не дать нужного сочетания координат факторов. С другой стороны, утолщение гиперсферы в ММСБ заведомо огрубляет коэффициенты регрессии, следовательно, уменьшает точность аппроксимации выходной величины исследуемого объекта найденной моделью.

Наконец, необходимость работать не с именованными факторами X_k, а с их кодированными значениями x_k может вызывать затруднения у рабочих-операторов соответствующих технологических линий. Таким образом, имеется необходимость в поиске еще одного метода моделирования по пассивным данным, свободным от указанных особенностей.

Среди множества методов обработки экспериментальных данных наибольшее распространение получил классический метод наименьших квадратов (МНК), разработанный Гауссом и Лежандром. В основу расчетов коэффициентов регрессионного уравнения по МНК положена минимизация квадрата отклонений наблюденных значений Y_j от эмпирической линии регрессии M {Y_j / X₁,X₂,…,X_n}

. (7.2)

При этом обязательно должно соблюдаться общее для всех методов регрессионного анализа условия независимости (некоррелированности) факторов.

Однако, при обработке результатов пассивного эксперимента в отличие от результатов специальным образом спланированного активного эксперимента, вследствие неортогональности пассивного планирования, коэффициенты регрессии, полученные МНК, становятся комплексными характеристиками всей совокупности аргументов и не могут быть признаны эффективными (т.е. полученными с минимальной дисперсией). В этом случае оценка значимости коэффициентов регрессии по критерию Стъюдента становятся некорректной, а признание незначимым и отбрасывание какого-либо из найденных коэффициентов регрессии требует пересчета оставшихся коэффициентов заново. Предпринимались попытки упростить и упорядочить процедуру нахождения коэффициентов модели, но дело ограничилось некоторыми частными случаями. Естественно, такая громоздкая процедура крайне нежелательна в системах оперативного анализа состояния и управления технологическим процессом.

Существует еще одно обстоятельство, затрудняющее прямое применение МНКК при обработке данных пассивного эксперимента. Как известно коэффициенты регрессии b_k находятся путем решения матричного уравнения, полученного при минимизации условия (7.2)

B = (X^TX)^-1X^TY, (7.3)

где (X^TX)^-1 — матрица, обратная к матрице системы нормальных уравнений, X^TY — матрица произведений величин факторов и откликов, а В — матрица коэффициентов регрессии.

Для произвольной системы факторов задача нахождения обратной матрицы является довольно громоздкой и трудоемкой, причем трудоемкость стремительно возрастает с ростом числа факторов. Проблема существенного упрощения процедуры определения коэффициентов регрессии может быть решена путем подбора для каждой регрессионной задачи своей специальной системы линейно-независимых функций y(X) таких, чтобы матрица системы нормальных уравнений X^TX была единичной. Другими словами, каждая функция y_kj(X) из системы линейно-независимых функций y(X) выбирается так, чтобы она была ортогональна ко всем предыдущим и была нормирована на заданном множестве точек Х_kj c весами w_kj. Тогда матрица (X^TX)^-1 также будет единичной и выражение (7.3) упрощается

B = y(X)?W?X^TX. (7.4)

Выбор системы функций y(X) осуществляется таким образом, чтобы кривая Y(Х) разлагалась по выбранной системе функций в ряд, быстро сходящийся в каждой точке Х_kj, при этом система функций должна быть определена на том интервале значений переменной Х_k, на котором расположены экспериментальные точки Х_kj. Учитывая выше сказанное при обработке данных пассивного эксперимента предлагается использовать ортогональные полиномы Чебышева, с помощью которых следует проводить предварительную ортогонализацию переменных (факторов).