Пример 1. Используя данные табл. 1.1 найти математическую модель процента выхода годных кристаллов интегральных микросхем.
Р е ш е н и е. Прежде всего необходимо построить план квазиактивного эксперимента, для чего потребуется предварительно решить две задачи: определить вид закона распределения выходной величины и выбрать величину Z для определения границ области хк=0.
В разделе 1.2 доказано, что процент выхода годных кристаллов Y табл. 1.1 распределён по закону, отличному от нормального, но это отличие невелико, поэтому преобразования Y для приведения его нормальному закону делать не будем. Величину Z выберем равной Z=0,25. Тогда области хк=-1 и хк=+1 определятся из выражения 
, а план эксперимента и
|
расслоение его результатов по строкам после
удаления грубых промахов получится таким, как представлено в табл. 7.1. Здесь мы не воспользовались приёмом построения предварительного плана, так как число факторов и длина исходной таблицы сравнительно невелики.
Так как число попаданий результатов эксперимента в различные строки плана mj неодинаково, то проверку воспроизводимости делаем по критерию Бартлетта (5.33)
.
Полученное неравенство свидетельствует о том, что все строчные дисперсии однородны и имеют лишь случайное отклонение от средневзвешенной дисперсии опыта S2p=11,816 с n=145 числом степеней свободы. В свою очередь доказанная однородность строчных дисперсий означает, что результаты опытов правильно отражают реальную картину исследуемого объекта, могут быть повторно воспроизведены при новых измерениях и их можно использовать для дальнейших расчётов.
Для нахождения оценок коэффициентов, их дисперсий и определения их значимости воспользуемся формулами (5.30), (5.31) и (5.32). Результаты расчетов представлены в таблице.
|
Параметр оценки |
Факторы и взаимодействия |
|||||
|
х1 |
х2 |
х3 |
х1х2 |
х1х3 |
х2х3 |
|
|
N1K m1K D1K N2K m2K D2K mK bK DK tK tтабл |
66 70,54 45,565 82 59,59 19,638 64,47 5,48 0,405 8,602 1,982 |
78 68,04 65,224 65 59,16 23,810 64,00 4,44 0,301 8,098 1,982 |
72 66,50 59,132 71 61,95 48,065 64,24 1,78 0,375 2,900 1,982 |
60 66,82 110,662 62 62,27 20,146 64,51 2,28 0,542 3,089 1,982 |
66 64,64 75,233 57 64,50 46,688 64,57 0,07 0,490 0,100 1,982 |
67 65,54 70,780 54 62,65 56,380 64,25 1,45 0,529 1,994 1,982 |
Таблица 7.1
План ММСБП, результаты эксперимента и их частичная обработка
|
j |
x1 |
x2 |
x3 |
Yji |
mj |
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 |
— — — — — — — — — 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + + + + + + |
— — — 0 0 0 + + + — — — 0 0 0 + + + — — — 0 0 0 + + + |
— 0 + — 0 + — 0 + — 0 + — 0 + — 0 + — 0 + — 0 + — 0 + |
59,0; 56,7; 57,0; 57,0; 47,1; 60,4; 58,6; 57,9; 56,0; 56,8; 57,7; 55,8 54,9; 59,4; 52,4; 59,6; 58,7; 54,0; 59,0 59,1; 51,0; 55,3; 60,4; 57,5; 55,2; 55,6; 50,4; 53,1 60,5; 58,2; 56,2; 58,7; 59,8; 59,7 63,0; 61,5; 55,8 61,5; 62,1; 64,0 58,6; 65,4; 60,5; 66,0; 62,4; 62,8; 56,6; 54,7; 55,2; 62,3; 57,3; 59,7; 57,7; 59,5; 56,6; 55,2; 52,5; 57,6; 65,1 59,4; 58,0; 55,6 61,9; 67,5; 63,7; 63,4; 65,0; 63,8; 65,5; 60,8; 71,7; 61,2; 67,9; 68,2; 63,0; 62,7; 66,5; 63,4; 64,0; 65,2; 64,5; 60,8 59,5; 60,9; 55,2; 58,2; 51,8; 58,1 56,1; 60,2; 62,7; 54,8 64,2; 59,4; 64,4; 61,0; 58,3; 58,9; 54,6 63,6; 65,3 64,4; 65,1 66,0 66,7 — 69,3; 77,2; 70,8 55,1; 67,4; 61,9; 61,7; 65,1; 57,2; 60,0; 53,9; 69,8 60,2; 66,3 70,0; 61,1; 62,8; 64,6; 69,5; 65,5; 64,9; 64,7; 69,7 69,8; 66,1; 64,9; 69,0; 65,2; 66,5; 67,1 68,2; 69,4; 70,1; 67,4 69,9; 64,0; 73,5 75,0; 72,9; 71,7; 79,5; 80,9; 79,0; 75,0; 76,2; 69,5 75,2; 74,9; 78,3; 72,7; 76,5; 68,6 72,3; 71,3; 73,5; 75,7; 78,7; 77,3; 82,0; 72,2; 78,9; 74,0; 77,6; 78,3; 82,3; 73,6; 79,7; 82,1; 78,0 |
12 7 9 6 3 3 19 3 20 6 4 7 2 2 1 1 — 3 9 2 9 7 4 3 9 6 17 |
56,67 56,86 55,29 58,85 59,83 62,53 59,25 57,67 64,54 57,28 58,45 60,11 64,45 64,75 66,0 66,7 — 72,43 61,34 63,25 65,87 66,94 68,78 69,13 75,52 74,37 76,91 |
10,788 8,973 11,591 2,363 18,083 1,703 15,207 3,693 7,691 10,782 13,323 11,921 — — — — — 17,603 29,513 — 10,143 3,423 1,456 23,003 14,449 11,407 13,001 |
54,65 56,43 58,21 56,82 58,60 60,37 58,99 60,76 62,54 57,86 59,63 61,41 62,30 64,07 65,85 66,74 — 70,29 61,10 62,83 64,61 67,77 69,55 71,32 74,49 76,26 78,04 |
48,4812 1,2943 76,7376 24,7254 4,5387 13,9968 1,2844 28,6443 80,0000 0,8664 5,5696 11,8300 9,2450 0,9248 0,0225 0 — 13,7388 0,5184 0,3528 14,2884 4,8223 2,3716 14,3883 9,5481 21,4326 21,7073 |
Следует подчеркнуть, что в отличие от ММСБА величины mk для каждого k-го фактора будут своими и, в силу этого, оценку b0 следует искать как среднее арифметическое всех значений выходной величины Y, полученных экспериментальным путём, кроме выявленных грубых промахов.
Поскольку значимыми факторами следует признать x1, x2, x3 и x1x2, а величина b0=64,07, то искомая модель может быть представлена в виде
.
Что касается члена при парном взаимодействии х2х3, то, хотя формально он должен быть включен в модель, однако расхождение между расчетным и табличным критериями Стьюдента столь незначительно, что можно попытаться не включать его (из того соображения, что чем короче модель, тем удобнее работать с ней). Окончательно этот вопрос решается на стадии проверки адекватности модели, которая, в силу отклонения выходной величины Y от нормального закона, должно проводиться по критерию К. Пирсона (7.1)
.
Таким образом, найденная модель правильно отражает экспериментальные данные и может быть использована для анализа работы и для оптимизации исследуемого объекта.
Любопытно отметить, что в данном случае критерий Фишера также подтвердил правильность нахождения модели:
с учетом всех измерении 
и 
;
только по средним арифметическим строк плана 
и 
.
