Пример 2. В табл. 6.8. представлена матрица планирования и результаты эксперимента, проводившегося в трех повторностях (m=3), одной из технологических операций производства кристаллов интегральных микросхем по трем факторам. В качестве выходного параметра взят процент выхода годных изделий. Определить математическую модель технологической операции методом ОЦКП.
Р е ш е н и е: Проверяем гипотезу о равенстве строчных дисперсий (гипотезу о воспроизводимости опытов) по критерию Кохрена.
.
Таким образом, можно считать доказанным, что все экспериментальные данные получены верно (воспроизводимы), а сам эксперимент приведен с дисперсией.
с N(m—1)=15?2=30 числом степеней свободы.
Таблица 6.8
Матрица планирования ОЦКП для трёх факторов и результаты эксперимента
|
g |
z0 |
z1 |
z2 |
z3 |
z4 |
z5 |
z6 |
z7 |
z8 |
z9 |
|
|
|
|
|
|
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
x1x2 |
x1x3 |
x2x3 |
||||||
|
ПФЭ Nф |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 |
-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 |
-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 |
-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 |
0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 |
0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 |
0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 0.27 |
+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 |
+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 |
+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 |
42.0 55.0 50.4 63.4 31.0 44.0 39.4 52.4 |
2.45 1.61 1.85 2.05 2.14 1.35 1.55 1.92 |
42.08 56.20 49.94 64.06 31.12 45.24 38.98 53.10 |
0.0064 1.4400 0.2116 0.4356 0.0144 1.5376 0.1764 0.4900 |
|
Звездные точки Na |
9 10 11 12 13 14 |
+1 +1 +1 +1 +1 +1 |
-1.215 +1.215 0 0 0 0 |
0 0 -1.215 +1.215 0 0 |
0 0 0 0 -1.215 +1.215 |
0.75 0.75 -0.73 -0.73 -0.73 -0.73 |
-0.73 -0.73 0.75 0.75 -0.73 -0.73 |
-0.73 -0.73 -0.73 -0.73 0.75 0.75 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
0 0 0 0 0 0 |
47.3 68.1 36.4 44.2 45.9 32.7 |
3.21 3.63 2.67 2.95 2.45 2.52 |
48.24 65.39 34.64 44.19 45.08 31.76 |
0.8792 7.3253 3.1119 0.0001 0.6724 0.8768 |
|
Центральная точка N0 |
15 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-0.73 |
-0.73 |
-0.73 |
0 |
0 |
0 |
40.0 |
0.92 |
42.26 |
5.1076 |
|
|
— |
15 |
10.95 |
10.95 |
10.95 |
4.37 |
4.37 |
4.37 |
8 |
8 |
8 |
|
32.27 |
— |
22.2853 |
По формуле (6.7) находим оценки коэффициентов:
b0=46,15; b1=+7,06; b2=+3,93; b3=-5,48; b11=+9,86; b22=-1,93;
b33=-2,60; b12=0; b13=0; b23=0; b0*=42,26;
и их дисперсии:
S2{b0}=0,478; S2{b1}=S2{b2}=S2{b3}=0,0655; S2{b11}=S2{b22}=S2{b33}=0,1641;
S2{b12}=S2{b13}=S2{b23}=0,0896; S2{b0*}=0,3101;
а затем критерий Стьюдента:
t0*=75,88; t1=27,58; t2=15,36; t3=21,41;
t11=24,34; t22=4,76; t33=6,42; t12=0; t13=0; t23=0.
Так как табличное значение критерия равно tтабл(5%; 30)=2,042, то модель запишется в виде:
.
Дисперсия адекватности этой модели равна: 
, а критерий Фишера 
.
Таким образом, полученная модель признается адекватной экспериментальным данным.
При ортогональном планировании второго порядка дисперсии определения коэффициентов изменяются при поворотах координат, то есть точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства неодинакова.
Информация о поверхности отклика, содержащаяся в уравнении регрессии, может быть оценена с помощью обратной стандартизированной дисперсии 
. Для различных точек факторного пространства эта величина принимает различные значения. Поэтому имеет смысл рассматривать информационные контуры – кривые или поверхности равной информации. При ортогональном планировании второго порядка информационные контуры не являются концентрическими сферами, а потому точность предсказания выходной величины по различным направлениям неодинакова. Наилучшим является такое математическое описание, которое дает одинаковую точность во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра планирования, т.е. информационные контуры являются концентрическими сферами. Такое математическое описание получается при ротатабельном центральном композиционном планировании (РЦКП).
