Пример 1. В табл. 6.5 представлена матрица планирования и результаты эксперимента операции диффузии при производстве кристаллов интегральных микросхем по двум факторам – количеству азота и температуре печи, причем кодированное значение x_i = -1 соответствует наименьшему из допустимых значений, x_i=0 – базовой точке (номиналу), а x_i= +1 – наибольшему из допустимых значений по технической документации. В качестве выходного параметра взят процент выхода годных изделий. Необходимо определить математическую модель технологической операции диффузии.

Таблица 6.4

Матрица планирования ПФЭ типа N=3³.

g	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9	z10	z11	z12	z13	z14	z15	z16	z17	z18	z19	z20	z21	z22	z23	z24	z25	z26	Yg
	x0	x1	x2	x3	x12	x22	x32	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3	x12x2	x12x3	x22x3	x1x22	x1x32	x2x32	x12x22	x12x32	x22x32	x12x2x3	x1x22x3	x1x2x32	x1x22x32	x12x22x3	x12x2x32	x12x22x32
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	Y1
2	+1	0	-1	-1	-2	+1	+1	0	0	+1	0	+2	+2	-1	0	0	-1	-2	-2	+1	-2	0	0	0	+2	+2	-2	Y2
3	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	Y3
4	+1	-1	0	-1	+1	-2	+1	0	+1	0	0	0	-1	+2	+2	-1	0	-2	+1	-2	0	-2	0	+2	+2	0	-2	Y4
5	+1	0	0	-1	-2	-2	+1	0	0	0	0	0	+2	+2	0	0	0	+4	-2	-2	0	0	0	0	-4	0	+4	Y5
6	+1	+1	0	-1	+1	-2	+1	0	-1	0	0	0	-1	+2	-2	+1	0	-2	+1	-2	0	+2	0	-2	+2	0	-2	Y6
7	+1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	Y7
8	+1	0	+1	-1	-2	+1	+1	0	0	-1	0	-2	+2	-1	0	0	+1	-2	-2	+1	+2	0	0	0	+2	-2	-2	Y8
9	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	Y9
10	+1	-1	-1	0	+1	+1	-2	+1	0	0	0	-1	0	0	-1	+2	+2	+1	-2	-2	0	0	-2	+2	0	+2	-2	Y10
11	+1	0	-1	0	-2	+1	-2	0	0	0	0	+2	0	0	0	0	+2	-2	+4	-2	0	0	0	0	0	-4	+4	Y11
12	+1	+1	-1	0	+1	+1	-2	-1	0	0	0	-1	0	0	+1	-2	+2	+1	-2	-2	0	0	+2	-2	0	+2	-2	Y12
13	+1	-1	0	0	+1	-2	-2	0	0	0	0	0	0	0	+2	+2	0	-2	-2	+4	0	0	0	-4	0	0	+4	Y13
14	+1	0	0	0	-2	-2	-2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	+4	+4	+4	0	0	0	0	0	0	-8	Y14
15	+1	+1	0	0	+1	-2	-2	0	0	0	0	0	0	0	-2	-2	0	-2	-2	+4	0	0	0	+4	0	0	+4	Y15
16	+1	-1	+1	0	+1	+1	-2	-1	0	0	0	+1	0	0	-1	+2	-2	+1	-2	-2	0	0	+2	+2	0	-2	-2	Y16
17	+1	0	+1	0	-2	+1	-2	0	0	0	0	-2	0	0	0	0	-2	-2	+4	-2	0	0	0	0	0	+4	+4	Y17
18	+1	+1	+1	0	+1	+1	-2	+1	0	0	0	+1	0	0	+1	-2	-2	+1	-2	-2	0	0	-2	-2	0	-2	-2	Y18
19	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-2	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	Y19
20	+1	0	-1	+1	-2	+1	+1	0	0	-1	0	+2	-2	+1	0	0	-1	-2	-2	+1	+2	0	0	0	-2	+2	-2	Y20
21	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	+1	Y21
22	+1	-1	0	+1	+1	-2	+1	0	-1	0	0	0	+1	-2	+2	-1	0	-2	+1	-2	0	+2	0	+2	-2	0	-2	Y22
23	+1	0	0	+1	-2	-2	+1	0	0	0	0	0	-2	-2	0	0	0	+4	-2	-2	0	0	0	0	+4	0	+4	Y23
24	+1	+1	0	+1	+1	-2	+1	0	+1	0	0	0	+1	-2	-2	+1	0	-2	+1	-2	0	-2	0	-2	-2	0	-2	Y24
25	+1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	Y25
26	+1	0	+1	+1	-2	+1	+1	0	0	+1	0	-2	-2	+1	0	0	+1	-2	-2	+1	-2	0	0	0	-2	-2	-2	Y26
27	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	Y27
	27	18	18	18	54	54	54	12	12	12	8	36	36	36	36	36	36	108	108	108	24	24	24	72	72	72	216

Таблица 6.5

Матрица планирования ПФЭ типа N=3² и результаты эксперимента.

g

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

z7

z8

mg

x0

x1

x2

x12

x22

x1x2

x12x2

x1x22

x12x22

1 2 3 4 5 6 7 8 9

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

-1 0 +1 -1 0 +1 -1 0 +1

-1 -1 -1 0 0 0 +1 +1 +1

+1 -2 +1 +1 -2 +1 +1 -2 +1

+1 +1 +1 -2 -2 -2 +1 +1 +1

+1 0 -1 0 0 0 -1 0 +1

-1 -2 -1 0 0 0 +1 -2 +1

-1 0 +1 +2 0 -2 -1 0 +1

+1 -2 +1 -2 +4 -2 +1 -2 +1

7 4 5 4 6 5 5 7 8

57.91 76.98 58.20 55.40 77.40 52.60 51.90 75.04 54.90

2.47 2.66 2.61 2.09 4.48 2.17 2.26 3.70 2.33

57.09 76.76 58.57 55.93 77.88 52.97 52.43 74.80 53.91

0.6724 0.0484 0.1369 0.2809 0.2304 0.1369 0.2809 0.0784 0.9801

9

6

6

18

18

4

12

12

36

—

—

—

2.8453

Р е ш е н и е. Прежде всего проверяем гипотезу о равенстве выборочных дисперсий по критерию Бартлетта (2. ).

где — поправочный коэффициент;

— средневзвешенная дисперсия опытов;

— число степеней свободы дисперсии .

Тогда .

Это означает, что все строчные дисперсии статически неотличимы друг от друга и можно использовать технику вычислений для ПФЭ типа 2³.

По формуле (6.7) найдем оценки коэффициентов модели:

b₀=+62,26; b₁=+0,08; b₂=—1,88; b₃=—7,11; b₄=+0,23;

b₅=+0,68; b₆=-0,45; b₇=+0,74; b₈=+0,35;

Дисперсии оценок по формуле (6.8) равны:

S²{b₀}=0,0552; S²{b₁}=S²{b₂}=0,0827; S²{b₃}=S²{b₄}=0,0275;

S²{b₅}=0,1241; S²{b₆}=S²{b₇}=0,0414; S²{b₈}=0,0138.

Значимость найденных оценок определим по критерию Стьюдента.

t₀=265,06; t₁=0,278; t₂=6,537; t₃=42,846; t₄=1,386; t₅=1,930; t₆=2,213; t₇=3,639; t₈=2,981.

Так как критическое значение t_кр(5%; v_p=42)=2,0180, то математическая модель будет найдена в виде:

Дисперсия адекватности откуда критерий Фишера , что однозначно свидетельствует об адекватности полученной модели исходным экспериментальным данным.

Такой большой запас по критерию Фишера, а также то обстоятельство, что ряд младших коэффициентов в десять и более раз меньше старших, заставляет сделать предположение о возможности значительного упрощения модели. С этой целью необходимо отбрасывать из нее по одному самому минимальному коэффициенту и проверять новую модель на адекватность. В данном конкретном примере можно остановиться на модели вида:

,

дисперсия адекватности которой, равна S²_ag=3.2980, а критерий Фишера

.

На этом примере видно, что при одних и тех же исходных данных можно получить грубую и более точную модель, однако, в пределах допустимой ошибки. Какой именно моделью пользоваться – дело исследователя, математических нарушений здесь нет.

Вообще говоря, применение методов ПФЭ типа 3ⁿ не является рациональным, так как это планирование характеризуется резким увеличением объема эксперимента, однако в некоторых случаях невозможно применение других методов.