Полный факторный экстримент типа N=2ⁿ, описанный в разделе 5.2, дает неполную квадратичную модель, которая хорошо описывает исследуемый объект (процесс) в области, далекой от экстремума, но которая становится непригодной по мере приближения базовой точки к экстремуму. В этой экстремальной области в модели необходимо наличие членов при квадратах факторов , то есть оценки коэффициентов b_ii.

Если иметь полную квадратичную модель

, (6.1)

то для нахождения оптимальной точки достаточно приравнять нулю значения компонентов градиента, вычисленных по формуле:

. (6.2)

Решая систему линейных уравнений, получаем координаты оптимальной точки в относительных единицах, так как начало координат при таком планировании находится в базовой точке.

После перехода от нормированных величин x_i к физическим X_i можно определить точность предсказания точки экстремума по квадрату расстояния от найденной точки до действительной точки экстремума

. (6.3)

Практикуется также оценка по разности значений выходной величины в точках действительного и предсказанного экстремума

, (6.4)

а также относительная оценка точности

. (6.5)

Эти оценки используются при исследовании методов планирования на модели, когда известна точка действительного оптимума. В реальных условиях точность предсказания оценивается по величине дисперсии s²{Y}.

Попытка получить полную квадратичную модель методами ПФЭ типа N=2ⁿ нереальна. Казалось бы, в силу того, что точки ПФЭ лежат в вершинах n-мерного куба, вписанного в n-мерную сферу, задача может быть решена, так как план ПФЭ обеспечивает равномерное распределение этих точек на сфере. Однако простейший пример — матрица планирования ПФЭ типа N=2³, записанная в табл. 6.1, иллюстрирует ограниченные возможности метода.

Таблица 6.1

Гипотетическая матрица планирования ПФЭ типа N=2³

g	x0	x1	x2	x3	x12	x22	x32
1 2 3 4 5 6 7 8	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	-1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1	-1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Нетрудно заметить, что все вектор-столбцы линейных факторов ортогональны между собой, т.е. выполняется условие:

(6.6)

Этого нельзя сказать о столбцах x₀ и (i=1,2,3,…,n), которые ничем не отличаются друг от друга. Таким образом, планирование на двух уровнях не решает задачи получения раздельных оценок коэффициентов при квадратичных членах и фиктивной переменной x₀ .

Из теории интерполяции известно, что для решения задачи нахождения раздельных оценок число уровней каждой из независимых переменных должны быть на единицу больше порядка интерполяционного полинома, т.е. для полинома второго порядка минимальное число уровней равно трем. Таким образом, полиномы второго порядка можно искать на путях ПФЭ типа N=3ⁿ.

Задача может решена и иными методами. Так для получения раздельных оценок b₀ и b_ii к ПФЭ типа 2ⁿ добавляется центральная точка с координатами /0,0,…,0/ и так называемые звездные точки с координатами /0,0,…,±a ,…,0/, лежащие на сфере диаметра 2a. Эти дополнительные точки для трехфакторной задачи приведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2.

Относительные координаты звездных и центральных точек

g	x0	x1	x2	x3
9 10 11 12 13 14 15	+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1	—a +a 0 0 0 0 0	0 0 —a +a 0 0 0	0 0 0 0 —a +a 0

Особое внимание следует обратить на центральную точку, роль которой очень велика. Проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть в трех разных ситуациях отклики, представленные на рис. 6.1, равны в вершинах квадратов, но отличаются в центральной точке.

а) b_ii<0 б) b_ii=0 в) b_ii>0

Рис 6.1. Результаты ПФЭ с измерением в центральной (базовой) точке.

Тогда линии равного уровня (пунктир) дадут разные картины, разными будут коэффициенты b_ii .

Добавление двух сфер (центральная точка рассматривается как сфера нулевого радиуса) позволяет получить раздельные оценки b₀ и b_ii . Все три сферы образуют композиционный план второго порядка (табл. 6.6 и 6.9), геометрическая интерпретация которого представлена на рис. 6.2.

n=2 n=3

Рис. 6.2. Геометрическая интерпретация композиционного плана

второго порядка.

Выбором величины плеча a композиционного плана и числа N₀ точек в центре могут быть обеспечены различные свойства получаемого плана.

В теории планирования второго порядка в зависимости от критерия оптимальности плана различают ортогональное композиционное планирование и ротатабельное композиционное планирование.