Полный факторный эксперимент целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N=2ⁿ становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остаётся на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числе опытов, реализовав не весь план ПФЭ, а только его часть (дробную реплику).

Эксперимент, реализующий часть (дробную реплику) полного факторного эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить приближение искомой функциональной зависимости Y=f(X₁, …, X_n) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

Так для решения трёхфакторной задачи можно ограничиться четырьмя вариантами (N=4), если в планировании ПФЭ типа 2² произведение х₁х₂ приравнять к третьей независимой переменной х₃. Такое планирование, представленное матрицей табл. 5.3, позволяет оценить свободный член b₀ и три коэффициента регрессии при линейных членах b₁, b₂, b₃ (из четырёх опытов нельзя получить более четырёх коэффициентов).

Таблица 5.3

Полуреплика от ПФЭ типа 2³ (планирование типа 2^3-1)

g	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7
x0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3
1	+	—	—	+	+	—	—	+
2	+	+	—	—	—	—	+	+
3	+	—	+	—	—	+	—	+
4	+	+	+	+	+	+	+	+

Применение ДФЭ всегда связано со смешиванием, т.е. совместной оценкой нескольких коэффициентов уравнения связи. В нашем примере, если коэффициенты регрессии b_ij при парных произведениях отличны от нуля, то каждый из найденных коэффициентов будет оценкой двух теоретических коэффициентов:

b₀ ® b₀ + b₁₂₃; b₂ ® b₂ + b₁₃;

b₁ ® b₁ + b₂₃; b₃ ® b₃ + b₁₂.

Действительно, указанные коэффициенты в таком планировании не могут быть найдены раздельно, поскольку столбцы матрицы для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью скоррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ДФЭ типа 2³ и называется «полурепликой» от ПФЭ типа 2³ или планированием типа N=2^3-1.

При большом числе переменных можно построить дробные реплики высокой степени дробности (1/4, 1/8, 1/16 и т.д.). Дробная реплика обозначается через 2^n—p, если p переменных приравнены к соответствующим произведениям переменных.

Для правильного планирования ДФЭ необходимо использовать все полученные ранее сведения об объекте теоретического и интуитивного характера и выделить из них те переменные и произведения переменных, влияние которых на процесс минимально. При этом смешивание нужно производить так, чтобы основные оценки b₀, b₁, …, b_n были смешаны с взаимодействиями, о которых заранее известно, что они не оказывают влияние на объект. Следовательно, произвольное разбиение матрицы планирования 2³ на две части и выделение полуреплики типа 2^3-1 недопустимо.

Генерирующее соотношение служит для построения дробной реплики. Так, в рассмотренном планировании 2^3-1 мы задавали полуреплику типа 2³ с помощью соотношения x₃=x₁x₂.

Определяющим контрастом (ОК) называется соотношение, задающее элемент первого столбца матрицы планирования для эффективной переменной (все они равны 1). Выражение ОК в нашем примере получается умножением левой и правой частей приведённого генерирующего соотношения на его левую часть x₃

1=x₁x₂x₃,

так как всегда .

Знание ОК позволяет определить всю систему совместных оценок не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно перемножив независимые переменные на ОК

x₁=x₂x₃; x₂=x₁x₃; x₃=x₁x₂.

Отсюда легко находим смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки

b₁ ® b₁ + b₂₃; b₂ ® b₂ + b₁₃; b₃ ® b₃ + b₁₂.

Разрешающая способность дробных реплик определяется генерирующими соотношениями. Она тем выше, чем выше порядок взаимодействий, с которыми смешаны линейные коэффициенты, и увеличивается с ростом числа независимых переменных.

Для четверти реплики в пятифакторном планировании типа 2^5-2 могут быть заданы, например, генерирующие соотношения

x₄=x₁x₂x₃; x₅=x₁x₂,

заранее полагая, что b₁₂₃=b₁₂=0, т.е. что пара x₁x₂ и тройка x₁x₂x₃ не даёт значимого эффекта взаимодействия. Определяющими контрастами для этой четверть реплики согласно вышеприведённым правилам будут соотношения

1=x₁x₂x₃x₄; 1=x₁x₂x₅.

Если у дробной реплики имеются два и более определяющих контраста, их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В случае четверть реплики получается одна комбинация

1=x₁x₂x₅.

Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности

1=x₁x₂x₃x₄=x₁x₂x₅=x₃x₄x₅.

Совместные оценки здесь будут определяться соотношениями

x₀ = x₁x₂x₃x₄ = x₁x₂x₅ = x₃x₄x₅;

x₁ = x₂x₃x₄ = x₂x₅ = x₁x₃x₄x₅;

x₂ = x₁x₃x₄ = x₁x₅ = x₂x₃x₄x₅;

x₃ = x₁x₂x₄ = x₁x₂x₃x₅ = x₄x₅;

x₄ = x₁x₂x₃ = x₁x₂x₄x₅ = x₃x₅;

x₅ = x₁x₂x₃x₄x₅ = x₁x₂ = x₃x₄;

x₁x₃ = x₂x₄ = x₂x₃x₅ = x₁x₄x₅;

x₂x₃ = x₁x₄ = x₁x₃x₅ = x₂x₄x₅.

Эти соотношения позволяют установить, оценкой каких теоретических коэффициентов является тот или иной коэффициент регрессии, полученный при обработке результатов эксперимента

b₀ = b₀ + b₁₂₃₄ + b₁₂₅ + b₃₄₅;

b₁ = b₁ + b₂₃₄ + b₂₅ + b₁₃₄₅;

b₂ = b₂ + b₁₃₄ + b₁₅ + b₂₃₄₅;

b₃ = b₃ + b₁₂₄ + b₁₂₃₅ + b₄₅;

b₄ = b₄ + b₁₂₃ + b₁₂₄₅ + b₃₅;

b₅ = b₅ + b₁₂₃₄₅ + b₁₂ + b₃₄;

b₁₃= b₁₃ + b₂₄ + b₂₃₅ + b₁₄₅;

b₂₃= b₂₃ + b₁₄ + b₁₃₅ + b₂₄₅.

Разрешающая способность этой четверти реплики невысокая, так как все линейные коэффициенты смешаны с парными взаимодействиями. Матрица планирования такой четверти реплики представлена в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Четверть реплики от ПФЭ типа 2⁵ (планирование типа 2^5-2)

g	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9	z10	z11	z12	z13	z14	z15
x0	x1	x2	x3	x4	x5	x1x2	x1x3	x1x4	x1x5	x2x3	x2x4	x2x5	x3x4	x3x5	x4x5
1	+	—	—	—	—	+	+	+	+	—	+	+	—	+	—	—
2	+	+	—	—	+	—	—	—	+	—	+	—	+	—	+	—
3	+	—	+	—	+	—	—	+	—	+	—	+	—	—	+	—
4	+	+	+	—	—	+	+	—	—	+	—	—	+	+	—	—
5	+	—	—	+	+	+	+	—	—	—	—	—	—	+	+	+
6	+	+	—	+	—	—	—	+	—	—	—	+	+	—	—	+
7	+	—	+	+	—	—	—	—	+	+	+	—	—	—	—	+
8	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+

Продолжение табл. 5.4

g	z16	z17	z18	z19	z20	z21	z22	z23	z24	z25	z26
x1x2x3	x1x2x4	x1x2x5	x1x3x4	x1x3x5	x1x4x5	x2x3x4	x2x3x5	x2x4x5	x3x4x5	x1x2x3x4
1	—	—	+	—	+	+	—	+	+	+	+
2	+	—	+	—	+	—	+	—	+	+	+
3	+	—	+	+	—	+	—	+	—	+	+
4	—	—	+	+	—	—	+	—	—	+	+
5	+	+	+	—	—	—	—	—	—	+	+
6	—	+	+	—	—	+	+	+	—	+	+
7	—	+	+	+	+	—	—	—	+	+	+
8	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+

Продолжение табл. 5.4

g	z27	z28	z29	z30	z31
x1x2x3x5	x1x2x4x5	x1x3x4x5	x2x3x4x5	x1x2x3x4x5
1	—	—	—	—	+
2	—	+	+	—	—
3	—	+	—	+	—
4	—	—	+	+	+
5	+	+	—	—	+
6	+	—	+	—	—
7	+	—	—	+	—
8	+	+	+	+	+

Следует иметь в виду, что ДФЭ всегда можно дополнить до ПФЭ, реализовав недостающие дробные реплики.

Вся дальнейшая работа по реализации матрицы планирования ДФЭ, проверке воспроизводимости полученных результатов, определению оценок коэффициентов регрессии и их значимости, проверке адекватности полученной математической модели не отличается от соответствующих процедур в ПФЭ.