На практике часто встречаются случаи, когда парная выборка имеет небольшой объем, не позволяющий применить классический метод Чебышева для доказательства существования корреляционной связи и определения уравнения регрессии. В этом случае рекомендуется прибегать к моделированию по МНК, однако такое моделирование будет иметь смысл только в том случае, когда твердо установлено наличие между исследуемыми случайными величинами значимой корреляционной связи. Малый объем выборки препятствует использованию для этой цели почти всех методов, описанных в разделе 2.1, а те, которые дают ответ, могут ложно определить эту связь ниже порога различимости.

Для выхода из положения предлагается воспользоваться процедурой так называемого метода “бутстрепа“ (“ботиночных шнурков“), которая заключается в следующем. Из исходной экспериментальной парной выборки с помощью таблицы равномерно распределенных случайных чисел формируется еще несколько искусственных выборок, равных по объему первичной. Затем для каждой из них находится коэффициент корреляции, который, являясь случайной величиной, может быть подвергнут статистической обработке для нахождения наивероятнейшего коэффициента корреляции и границ его существования.

Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной, имеющей распределение, существенно отличающееся от нормального, поэтому статистические исследования рекомендуется проводить не с коэффициентом корреляции r, а с некоторой величиной Z, полученной в результате преобразования Фишера

, (2.30)

имеющей нормальный закон распределения с дисперсией , которая зависит только от объема выборки n и не зависит от величины коэффициента корреляции.

Вопрос об однородности случайной нормально распределенной величины Z, взятой из различных выборок объемом n_j в теоретическом плане можно решить несколькими методами, однако наиболее точным методом (и самым чувствительным к грубым промахам исходных данных) является метод сравнения с использованием c²-распределения Пирсона. Суть метода заключается в том, что сумма

, (2.31)

где Z_j— случайная величина, вычисленная по формуле (2.30) для j-й выборки объемом n_j , а — средняя арифметическая величина по всем k выборкам имеет c²— распределение с k–1 степенями свободы.

При выполнении условия

, (2.32)

все величины считаются статистически неотличимыми друг от друга, то есть имеющими случайное отклонение от общего центра , который через обратное преобразование может быть приведен к наивероятнейшему значению коэффициента корреляции

. (2.33)

Значимость наивероятнейшего коэффициента корреляции может быть определена по формулам (2.22) или (2.23), при этом объем N, входящий в них, можно найти двумя путями.

а) Осторожный подход: N=n_j, то есть за расчетный объем принимается объем одной из выборок.

б) Менее осторожный подход: N=, то есть за расчетный объем принимается сумма объемов всех выборок.

Наивероятнейший коэффициент корреляции в дальнейшем может быть использован для нахождения уравнения регрессии по методу Чебышева, либо, послужив доказательством значимой связи, по МНК.