П.Л. Чебышев предложил достаточно простой и удобный способ определения уравнения регрессии по найденным моментам различного порядка, корреляционному отношению и коэффициенту корреляции. Способ предполагает предварительно найти корреляционное уравнение приближенного условного основного момента порядка h_X в виде

(2.24)

где — центрированная и нормированная переменная;

.

Следует иметь в виду, что при доказанном нормальном распределении случайной величины X основные моменты r_3/0=0 и r_4/0=3.Если распределение отличается от нормального, то следует использовать их вычисленные значения.

Переход к уравнению регрессии выполняется по формуле

, (2.25)

где — вероятное значение величины Y.

Выражение (2.24) является корреляционным уравнением в силу того, что аргументы функции выражены в относительных единицах (в центрированном и нормированном виде). Выражение (2.25) является уравнением регрессии той же пары, но в абсолютных единицах измерения с учетом среднеквадратических отклонений. Именно по этой причине регрессия есть линия – геометрическое место точек проекций центров условных распределений (см. рис.2.1).

Выражение (2.24)дает возможность подобрать полином любого (в разумных пределах) порядка, так как построен он следующим образом: для полинома первой степени достаточно принимать в расчет только первый член выражения (2.24), остальными можно пренебречь; для полинома второго порядка – первые два члена, и т.д. (Здесь мы ограничились уравнениями только второго порядка). Показателем того, на каком порядке корреляционного уравнения следует остановится, служит критерий с его основной ошибкой . Если величина критерия оказывается достаточно малой по сравнению с его ошибкой , то мы можем остановится на корреляционном уравнении h_x-го порядка. Если при очередном шаге величина критерия окажется отрицательной, то надо вернутся к уравнению предшествующего порядка.

Критерий линейности вычисляется по формуле:

(2.26)

с основной ошибкой , а критерий квадратичности – по формуле:

(2.27)

с основной ошибкой .

Если критерий меньше своей основной ошибки или больше ее всего в два-три раза, то с достаточной точностью можно остановится на уравнении порядка этого критерия.

Поскольку уравнение регрессии есть геометрическое место точек проекций центров условных распределений, то возникает естественный вопрос о границах этих распределений, то есть о границах (коридоре) существования самого уравнения регрессии. Для уравнения первого порядка эти границы можно определить как

(2.28)

а для уравнения второго порядка

(2.29)

где Z_дов— квантиль доверительной вероятности.