Мерой тесноты линейной корреляционной связи, свободной до известной степени от вида закона распределения и даже от наличия некоторого (до 5% от объема выборки) количества грубых промахов является индекс Фехнера (2.3). Для его определения вместо таблицы двумерного распределения необходимо вычислить таблицу знаков и . Если обозначить количество совпадающих знаков через V, а количество несовпадающих – через W (где V+W=N – объем парной выборки), то индекс Фехнера можно определить по формуле

. (2.3)

Индекс Фехнера ведет себя так же, как коэффициент корреляции, т.е. может меняться в пределах -1f+1. Несомненное преимущество индекса Фехнера состоит в простоте вычисления, однако точность его хуже, чем у коэффициента корреляции, и относительное их совпадение наблюдается только при больших значениях 0.8. При меньших значениях индекс Фехнера довольно далеко отклоняется от аналогичных величин коэффициента корреляции.

Этот недостаток можно существенно уменьшить, если вместо классического индекса Фехнера взять модифицированный индекс Фехнера (МИФ), подсчитанный по формуле:

, (2.4)

в которой знаки “+” берутся в обоих случаях при V>W, а знаки “-” – при V<W. МИФ практически совпадает с коэффициентом корреляции при >0.3 в парных выборках объемом N>40, не зависит от вида закона распределения и достаточно устойчив против наличия в выборке грубых промахов. Поэтому МИФ рекомендуется использовать везде, где необходимо установить меру тесноты корреляционной связи (да и само её наличие) при неясных статистических предпосылках относительно парной выборки.

Если же одна из случайных величин (например, X) носит непрерывный характер, а другая (Y) – варьируется только на двух уровнях, то рекомендуется в качестве меры тесноты линейной связи использовать коэффициент точечно-биссериальной корреляции

,

где , S_Y – средняя арифметическая и СКО величины Y в полном объёме n; — средняя арифметическая той части выборки Y, которая меньше по объёму n₀ при расслоении величины Y на один и второй уровень; n₁=n=n₀ – объём другой части расслоенной выборки Y.

Признаки явлений не всегда могут быть выражены в количественной форме. Существуют признаки с качественной вариацией, выраженные в виде дискретных значений, такие как конкретный экземпляр оборудования в ряду однотипных, или конкретный оператор оборудования (если их несколько), или пол, возраст (опыт, стаж работы) оператора и т.п. Связи между качественно варьирующимися признаками могут играть большую роль (например, при технологическом процессе производства кристаллов интегральных микросхем место расположения пластины в лодочке влияет на величину диффузионного резистора).

При наличии связи между качественно варьирующими признаками говорят об их ассоциации, взаимосвязанности. Возможно также употребление термина «корреляция». Ассоциация признаков изучается с помощью взаимоисключающих ответов типа «да – нет», «хорошо – плохо», «согласен – несогласен» и так далее, то есть для дихотомических признаков.

Если признак обладает альтернативной вариацией, то результаты наблюдений можно представить в виде таблицы ассоциации, называемой также 2х2 – таблицей, или четырех клеточной таблицей.

	1	0	S
1	q11	q12	q1
0	q21	q22	q2
S	Q1	Q2

Для измерения связи можно воспользоваться коэффициентом ассоциации Ф, предложенным К. Пирсоном:

. (2.5)

По своей конструкции коэффициент Ф соответствует коэффициенту корреляции, примененному к частотам появления отдельных значений признака. Коэффициент Ф принимает значения в интервале -1?Ф?+1. Для проверки выводов можно применить критерий c². В специальной литературе доказано, что

. (2.6)

Отсюда следует, что

(2.7)

где N – сумма всех частот. Величина c² для четырехклеточной таблицы имеет одну степень свободы. С помощью критерия c² можно непосредственно оценить, существует ли вообще связь между изучаемыми явлениями, однако критерий не позволяет сделать вывод о силе связи.

Коэффициент ассоциации может быть вычислен только при альтернативной группировке числового материала. При этом ожидаемая частота признака должна быть больше 5, а объем выборки – не меньше 40. Вполне возможно, что эти предпосылки могут не соблюдаться в силу того, что частоты определяются эмпирическим путем. В этом случае для большего соответствия c²-распределению вводят так называемую поправку на непрерывность или коэффициент Йейтса. Смысл поправки заключается в том, что наблюдаемые частоты, которые больше ожидаемых, увеличиваются на 0.5, а наблюдаемые частоты, которые меньше ожидаемых, уменьшают на эту же величину. В результате получаем формулу:

. (2.8)