Пример 1. Две установки должны напылять резисторы одинаковой величины. При измерениях получены следующие выборки (в Омах):

Установка 1: 1095, 1025, 938, 915, 1012, 980, 975, 990, 1000, 947;

Установка 2: 942, 938, 1010, 1030, 973, 915, 990, 970, 925, 1045, 1100, 1020, 985, 1082, 1065, 1090

Определить, одинаково ли налажены установки.

Р е ш е н и е сводится к проверке нулевой гипотезы H₀: = против альтернативной H₁: ₁₂. Находим параметры выборочных распределений

= 987,7 Ом; S² = 2587,1 Ом²; n₁ = 10;

= 1005,0 Ом; S² = 3605,7 Ом² n₂ = 16;

Затем по формуле (1.27) находим средневзвешанную дисперсию

S² = (9,425871 + 15,436057) / (9 + 15) = 3223,7

с n = 9 + 15 = 24 степенью свободы и расчетное значение критерия Стьюдента

t = ,

По табл.П.2. находим t_табл,(5%; n= 24) = 2,0639. Так как t<t_табл,, то нулевая гипотеза H₀ о равенстве центров распределения принимается (с доверительной вероятностью Р_дов=0,95 можно считать, что обе установки налажены одинаково).

Пример 2. Установка напыления должна быть настроена на номинал 15 кОм, При измерениях получилась следующая выборка: 13,2; 14,7; 12,9; 15,3; 12,7; 13,8; 14,1; 12,8; 14,8; 13,5; 14,2; 16,2; 14,1; 13,9; 14,3; 15,1 кОм. Определить правильность настройки установки.

Р е ш е н и е сводится к проверке нулевой гипотезы H₀:= 15,0 кОм против альтернативной H₁:15,0 кОм. Находим параметры выборочного распределения: = 14,1 кОм; S² = 0,9427 кОм; n = 16. Так как величину надо сравнивать с константой C, то формула (1,27) преобразуется

.

По табл.П.2. находим t_табл,(5%; 15) = 2,1314. Так как t > t_табл,, то нулевая гипотеза H₀ о равенстве центра выборочного распределения напыляемых резисторов величине 15 кОм отвергается и принимается альтернативная гипотеза H₁ (с доверительной вероятностью Р_дов=0,95 можно считать, что установка для напыления настроена неправильно).

Пример 3. При нахождении математической модели исследуемого объекта один из коэффициентов искомого уравнения регрессии равен b=0,45. Определить, следует ли его включать в уравнение, если эмпирическая дисперсия опытов S² = 0,0175, а объём выборки n=24.

Р е ш е н и е сводится к проверке нулевой гипотезы H₀: b = 0 против альтернативной H₁: b0, т,к, любой коэффициент должен быть исключен из уравнения только в том случае, если он равен нулю. Проверка нулевой гипотезы сводится к формуле примера 2 при C =0. Тогда

t = = 16,6648.

По табл.П.2 находим t_табл,(5%; 23) = 2,0687. Так как t> t_табл,, то нулевая гипотеза H₀ о равенстве величины b нулю отвергается и принимается альтернативная гипотеза H₁. Таким образом, этот коэффициент, безусловно, надо включить в уравнение регрессии (математическую модель).

Пример 4. По данным примера 2 определить наличие в выборке грубых промахов.

Р е ш е н и е. Грубой ошибкой измерения может быть только одно из крайних значений – минимальное или максимальное. Поскольку к минимальному значению тесно примыкают еще несколько элементов выборки, а максимальное стоит особняком, примем X*=16,2 кОм. Ранее было вычислено, что =14,1кОм, a S² =0,9427 кОм². Тогда нормированное отклонение

= = 2,16,

а нижнее значение критерия (1,28)

t_кр (5%; 14) = = 1,92.

Так как t>t_кр (5%; 14), то для дальнейшего анализа вычисляем верхнее значение критерия

t_кр (0,1%; 14) = = 2,87.

Так как t_кр (5%; 14) <t<t_кр (0,1%; 14), то величину X* можно оставить в выборке, а можно удалить. Для уточнения найдем еще один промежуточный критерий

t_кр (1%; 14) = = 2,41.

Таким образом, в силу t<t_кр (1%; 14) шансы за то, чтобы оставить X* в выборке, явно перевешивают шансы за то, чтобы его удалить.

Пример 5. Определить границы существования истинного значения математического ожидания по условию примера 2 при доверительной вероятности P_дов = 0,95.

Р е ш е н и е. Так как для q = (1-P_дов)100% = 5% уровня значимости и степени свободы n=15 величина критерия Стьюдента t_табл, (5%; 15) = 2,1314, а общая формула принятия нулевой гипотезы в случае сравнения с константой C = M[Х]

t = t_таб,(q,n), (1.29)

то отсюда легко вывести

— t_табл, M[X] + t_табл,. (1.30)

Подставляя числовые значения, получим

12,77 < M[X] < 14,23 кОм.

Последний пример имеет самостоятельное теоретическое значение. С помощью выражения (1.30) определен интервал, в котором с вероятностью P_дов (или с ошибкой q=(1-P_дов)100%) находится неслучайное математическое ожидание генеральной совокупности, причем величина интервала зависит также от объема выборки. Такой интервал называется доверительным интервалом или интервальной оценкой, и его величина может служить мерой точности нахождения математического ожидания.

Вообще говоря, доверительным интервалом для параметра q называют такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью P =1–q, близкой к единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра q, т.е. .

Границы доверительного интервала зависят от объема выборки.