Пример текста из PDF файла:

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Общие понятия
Комплексное число — это выражение вида z = х + iy, где х и у –действительные числа, а
i — мнимая единица, причем i2= -1 .
Ту часть комплексного числа, при котором стоит мнимая единица, будем называть
мнимой частью комплексного числа (в нашем примере она равна у) а другую часть, при ко-
торой не стоит мнимая единица, будем называть действительной частью комплексного чис-
ла (в нашем случае она равна х). Действительную часть комплексного числа z будем обозна-
чать как Re z, а мнимую часть как Iт z. В нашем случае Re z= x, Im z = у. Хотелось бы обра-
тить ваше внимание на то, что і является признаком мнимой части, но в саму мнимую часть
не входит.
Пример 1.
z=5+3i; Re z=5; Im z=3;
z1=7-12i; Re z1=7; 1m z1= -12.
Если Im z = 0 , то у нас — действительное число, а если Re z = 0, то — мнимое число. Так
z=5+0i=5 является действительным числом, a w=0+2i =2i — мнимое число.
Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Так
числа z1 и z из примера 1 не равны, так как их действительные части не равны, и не равны их
мнимые части.
Два комплексных числа называются комплексно сопряженными, если они отличаются
только знаком перед мнимой частью, например, z1=5+3i и z2=5-3i являются комплексно со-
пряженными числами.
При сложении двух комплексных чисел, отдельно складывают их действительные ча-
сти и отдельно — их мнимые части. При вычитании отдельно выполняют это действие для
действительных частей и отдельно — для мнимых.
Пример 2.
z1=5+3i; z2=7+12i;
z=z1+z2=5+7+i(3+12)=12+15i;
w=z2-z1=(7-5)+(12-3)i=2+9i.
Произведение двух комплексных чисел:
Z=z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(y1x2+y2x1).
В остальном, произведение комплексных чисел подчиняется тем же правилам, что и
произведение вещественных чисел: Z1z2=z2z1; z1·(z2·z3)=(z1·z2)·z3; z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.
1.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Рассмотрим плоскость, на которой определена декартовая система координат. Назовем
одну из осей — мнимой осью, и обозначим ее как Im, а другую ось — действительной, и
обозначим ее как Re (см. рис. 1).
Рис. 1. Комплексная плоскость.
Тогда любое комплексное число А может быть поставлено в соответствие точке А на
комплексной плоскости, и наоборот, любая точка комплексной плоскости может быть по-
ставлена в соответствие некоторому комплексному числу.
Однако любая точка плоскости может быть, также однозначно описана, если мы зада-
дим длину радиус-вектора, проведенного от начала координат до нашей точки (в нашем слу-
чае — это вектор ОА) и угол поворота вектора (в нашем случае — φ).
Назовем длину такого радиус-вектора модулем нашего комплексного числа А, и
обозначим его как А , а угол поворота — аргументом комплексного числа, и обозначим его
2
как argA, Для вычисления модуля и аргумента комплексного числа можно использовать вы-
ражения: А = ( Im A)2 + (ReA)2 , argA=arctg(ImA/ReA).
Пример 4.
Дано z=5+5i. Необходимо найти модуль и аргумент числа.
Решение: z = 52 + 52 = 50 = 5 2 ;
5 4
5
Re
arg = Im = arctg = p
z
z arctg z .
В силу периодичности функции arctrg аргумент комплексного числа определяется
неоднозначно, с точностью до периода 2π. Т.о. каждой точке комплексной плоскости соот-
ветствует бесконечное количество комплексных чисел, у которых одинаковый модуль, а ар-
гументы отличаются друг от друга на величину 2πn:

Обычно используют следующие обозначения: Arg z — все значения аргумента; arg z —
главное значение аргумента.
2. Функции комплексного переменного
Введем несколько понятий и определений, которые нам потребуются в дальнейшем.
Областью на комплексной плоскости называют множество точек D, обладающее сле-
дующими свойствами:
1. Вместе с каждой точкой D этому множеству принадлежит и любой достаточно ма-
лый круг, центр которого принадлежит этому множеству (свойство открытости).
2. Любые две точки D можно соединить ломаной, состоящей из точек D (свойство
связности).
Граничной точкой области D называют такую точку, которая не принадлежит области
D, но в любой окрестности которой, будут находиться точки области D.
Совокупность граничных точек области D называют границей этой области.
Область D с присоединенной к ней границей обозначают D и называют замкнутой об-
ластью.
В случае ограниченной области D число связных частей, на которые разбивается ее
граница, называется порядком связности. Если область имеет одну связную область, то ее
называют односвязной областью.
3
Для односвязной области положительным направлением обхода границы считается та-
кое, при котором область все время остается слева. При этом некоторые точки будут обхо-
диться 1 раз (это простые точки) и более 1-го раза (это кратные точки).
Говорят, что на множестве М точек плоскости Z задана функция ω =f(z), если указан
закон, по которому каждой точке z из М ставится в соответствие определенная точка или со-
вокупность точек ω.
Если z =x+iy, то задание функции ω=f(z)=U+iV, будет равносильно заданию двух
функций, двух действительных переменных: U=U(x,y); V=V(x,y).
Если откладывать значение z на одной комплексной плоскости, a ω на другой, то функ-
цию комплексного переменного можно геометрически представить, как некоторое отобра-
жение множества М плоскости Z, на множество N плоскости W.
Если функция ω=f(z) однозначна на множестве М и при этом двум различным точкам
из множества М всегда соответствуют различные точки множества N, то такое отображение
называется взаимно однозначным или однолистным.
2.2. Дифференцируемость или аналитичность
Рассмотрим функцию f(z) где z=x+ iy. Тогда f(z)=U(x,y)+iV(x,y), где U(x,y) и V(x,y) — не-
которые вещественные функции двух переменных -x и У. Пусть функция f(z) определена и
однозначна в некоторой окрестности точки ZО=x0+iy0 , кроме, может быть, самой точки z0. Бу-
дем говорить, что существует предел функции f(z), при z ® z0 если существуют пределы:
0
0
lim U( x, y ) u
x x; y y
=
® ® и 0
0 0
lim V( x,y ) v
x x ;y y
=
® ® ; при этом:
Z ® Z 0
lim f(z) = u0 + iv0, причем
функция стремится к своему пределу независимо от способа приближения Z к ZО .
Функция f(z) называется непрерывной в точке zo, если она определена в некоторой
окрестности ZО, включая саму точку ZО и
Z ® Z 0
lim f(z) = f(z0).
Функция f(z) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точ-
ке области D. Будем говорить, что f(z) дифференцируема в точке ZО, если существует предел
вида: f ( z )
h
lim f ( z h ) f ( z )
h
+ — = ¢
® 0
.
Этот предел называют производной функции f(z) в точке Z0.
Теорема Коши.
Пусть функция f(z)=U(x,y)+iV(x,y) определена в некоторой окрестности точки z1,
причем в этой точке U(x,y) и V(x,y) дифференцируемы. Тогда, для дифференцируемости
4
функции комплексного переменного f(z) в точке z, необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке имели место следующие соотношения:

. Эти условия называют условиями Коши — Римана. Функция f(z),
дифференцируемая в каждой точке области D, называется аналитичной в этой области. Под-
черкнем: аналитичность подразумевает однозначность.
2.3. Элементарные функции комплексного переменного
Здесь мы будем говорить об элементарных функциях комплексного переменного. Мы
распространим на комплексную область обычные функции, используемые нами ранее в дей-
ствительной области. При этом функции приобретают новые, необычные свойства. Теория
элементарных функций комплексных переменных разработана Эйлером в XVIII веке.
Функция ω=zn, где z -комплексное число, п — целое положительное число.
Перейдем к полярным координатам, тогда в плоскости Z, ω=zn- однозначна. Можно по-
казать, что: ω=zn преобразуется в два равенства: р=rп, q =пу т.е. исходный вектор увеличива-
ется в n- 1 z раз и поворачивается на (п-1) argz. В одной точке на плоскости окажутся, напри-
мер, 2 точки z1=z2, у которых модули одинаковы, а аргументы отличаются на

Функция w = n z .
Эта функция обратна рассмотренной ранее функции w=zn, Она n-значна, (т.е. имеет n
значений) Эти значения отличаются только аргументом.
Показательная функция w=еz=еx+iy=ехеiy=ex(cosy+isiny).
1. Для действительных аргументов z=х, w=ex — это определение функции совпадает с
обычным.
2. Определенная таким образом функция является аналитичной.
3. Для данной функции сохраняется обычная формула дифференцирования, определен-
ная для показательной функции действительного аргумента: (ez )¢ = ez .
4. При этом наша функция обладает следующим свойством: ez1ez2 = ez1 + z2 . Для чисто
мнимого аргумента получим формулу Эйлера:
5
еix=cos x + i sinx, следовательно, любое комплексное число можно записать в следую-
щем виде: z = z (cosj + i sinj ) = z eij . В этом случае говорят о показательной форме
представления комплексного числа.
Специфические свойства:
• функция еz — периодична с периодом 2πi;
• для любого целого k можно записать: ei2πk = 1, следовательно
ez+ 2p ki = ezei2p k = e z .
Логарифмическая функция
Она определяется как функция, обратная показательной: w = lnz, т.е. w является степе-
нью, в которую необходимо возвести е, чтобы получить z. Свойства логарифмической функ-
ции: Lnz1+Lnz2=Ln(z1z2), или LnZ = Ln Z + i arg Z , из-за второго слагаемого каждое
комплексное число имеет бесконечное количество логарифмов.
Тригонометрические и гиперболические функции.
Эти виды функций выражаются через показательную функцию:
eix = cos x + i sin x; e- ix = cos x — i sin x. Откуда: cos x e e ;

— — = По аналогии, для любого комплексного числа z: ;

Эти функции:
• всюду аналитичны;
• подчиняются обычным законам дифференцирования: (sin)¢ = cos z , (cos z )¢ = — sin z ;
• периодичны с периодом 2π;
• Sin z — нечетная функция, a Cos z — четная.
Внимание! Эти функции неограниченны !!
По аналогии, без комментариев, введем функции тангенса и арктангенса комплексного
аргумента:

Гиперболические функции:

Выражение гиперболических функций через тригонометрические: sh(z) = -i sin(iZ);
ch(z) = cos(iZ);th(z) =-itg(iz); ctg(z) = ictg(iz).
2.4. Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть задана функция комплексного аргумента f(z), аналитичная в некоторой области
D. Пусть в этой области определена некоторая кривая L, конечной длины. На дуге L лежат
точки z0, z1,….zk, причем z0 – первая точка кривой L, а zk – ее последняя точка. Введем сумму

n i i S f ( z ) z , где i i i D z = z — z + 1 , которую назовем интегральной суммой.
Определение: интегралом от функции f(z) вдоль кривой L называют предел вида:
n n
L
f ( z ) LimS
® ¥
ò = , где L- ориентированная кривая.
На интегралы функции комплексного переменного распространяются обычные свой-
ства криволинейных интегралов: ò ò-
= —
с c
f (z)dz f (z)dz где С- — кривая, совпадающая с
кривой С, но проходимая в обратном направлении.
Не рассматривая доказательства, отметим, что всякая аналитичная функция в круге
представляется в ней степенным рядом. Аналитичная функция полностью определяется
своими значениями на границе области аналитичности.
Нулем функции f(z) называют любую точку z=a, в которой f(z)=0.
Разложим f(z) в ряд Тейлора в окрестностях точки а (нуле функции). Номер младшего
отличного от нуля коэффициента этого разложения, называется порядком нуля а. Таким об-
разом, в окрестностях нуля функция может быть представлена в виде: f(z)= zCn(z-a)n +Cn+j(za)
n+1+…. Порядок нуля — это порядок младшей, отличной от нуля производной f(n)
(a).
2.5. Ряды Лорана
7
Ряды Тейлора очень удобны для представления функций, аналитических в круговых
областях. Однако бывает необходимо иметь аппарат для представления функций иного вида,
например при изучении функций, аналитичных в некоторой окрестности точки а, всюду,
кроме самой точки а. Тогда область аналитичности функции имеет вид кольцевой области
вида: 0 < z — a < R . Можно построить разложение по положительным и отрицательным сте-
пеням вида:

f1(z) — правильная часть разложения;
f2(z)-главная часть разложения.
Теорема (П. Лоран 1843 г.)
В любом кольце К: r < z — a < R , в котором аналитична функция f(z), эта функция мо-
жет быть представлена своим рядом Лорана, равномерно сходящимся в любой замкнутой
области, принадлежащей кольцу К.
Особые точки
Точка а называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует
окрестность 0 < z — a < R этой точки, за исключением самой точки а, в которой f(z) анали-
тична.
Различают три типа изолированных особых точек:
1) точка а называется устранимой особой точкой, если существует f z const
z a
=
®
lim ( ) ;
2) точка а называется полюсом, если = ¥
®
) z ( f limz
z 0
. Полюс — это точка, в которой
обратная функция имеет нуль, порядок которого равен порядку полюса;
3) а — существенно особая точка, если ) z ( f lima z® не существует.
8
Рассмотрим более подробно условия существования этих особых точек.
1. Для того, чтобы а была устранимой особой точкой функции f(z) необходимо и доста-
точно, чтобы лорановское разложение f(z) в окрестности точки а не содержало главной ча-
сти. В этом случае необходимо вычислить предел lim f (z) f0
z a
=
® и доопределить f(z) в точке
0 z = a ® f (a) = f .
2. Для того чтобы точка а, была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, что-
бы главная часть лорановского разложения f(z) в окрестности а содержала лишь конечное
число членов C ( z a ) .

0
1 1 При этом номер старшего отрица-
тельного члена разложения совпадает с порядком полюса.
3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой для функции f(z), когда
главная часть лорановского разложения в окрестности точки z содержит бесконечное коли-
чество членов.
Рассмотрим примеры функций с особыми точками.
1. Функции 2
1 2 1
z
; cos z
z
; ( e )
z
sin z — —
имеют в начале координат (z=0) устранимую
особую точку.
2. Функция
1
( ) 1 2 +
= ez
f z имеет бесконечное количество полюсов в точках
z = ± p (2k + 1), k = 0,± 1,± 2…, в этих точках знаменатель обращается в нуль. Порядок этих
полюсов — 1й, т.к. функция 1
( )
1 2 = ez +
f z в этих точках имеет вторую производную, отлич-
ную от нуля 2 0
( )
1 2 = ¹
¢
÷ ÷ø
ö
ç çè
æ zez
f z
в этих точках.
3. Функции e1/ z ,
z
sin 1
имеют в начале координат существенно особую точку.
Классы функций:
1. Целые функции. Функция f(z) называется целой, если она не имеет особых точек.
Пример: sin(z), ez и т.д. Сумма, разница и произведение целых функций также являются
целыми функциями.
9
2. Дробные функции. Функцию f(z) называют дробной (или мероморфной), если она не
имеет других особенностей, кроме полюсов. Сумма, разница, произведение и частное меро-
морфных функций так же являются мероморфными функциями.
2.6. Вычет
Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке а называется число:
= ò
®
L
z a
f ( z )dz
i
Re s f ( z )
2p
1
; где L- достаточно малый контур, охватывающий точку а, ко-
торый обходится в положительном направлении.
Из формул для коэффициентов разложения в ряд Лорана видно, что
= ò = — ® — —
L
z a
f ( z )dz C . C
i
Re s f ( z ) 2 1 1
1
p коэффициент лорановского разложения. В
устранимой особой точке вычет равен 0, т.к. С-1= 0.
Одна из формул для нахождения вычета:

, где n — порядок полюса.
Для полюса 1го порядка эта формула приобретает вид
Re s f ( z ) lim{( z a ) f ( z )}
z a z a
= —
® ® . Если f ( z ) = y( z ) /y ( z ), то ( a )
Re s f ( z ) y( a )
z a y ¢
=
®
Теорема о вычетах (О. Коши 1825 г.)
Пусть функция f(z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой об-
ласти всюду, кроме конечного числа особых точек n a ,a ,…a 1 2 .Тогда, если С обходить в поло-
жительном направлении, то ò å

Эта теорема позволяет свести вычисление величины «в целом» (т.е. интеграла) к вы-
числению величины «в малом» (т.е. в точке).
Логарифмический вычет
Под логарифмическим вычетом аналитической функции f(z) в точке а понимают вычет
ее логарифмической производной: [ ]

Имеет смысл говорить о логарифмическом вычете не только в особых точках а, но и в
нулях функции f(z). При этом используют следующую теорему:
В нулях и полюсах функции f(z) ее логарифмическая производная f'(z)/f(z) имеет полю-
сы 1го порядка, причем в нуле функции логарифмический вычет равен порядку нуля, а в по-
люсе — порядку полюса со знаком минус. Т.о. использование логарифмического вычета поз-
воляет определить число полюсов и нулей аналитической функции в заданной области.
Пусть функция f(z) аналитична внутри ограниченной области D всюду, кроме конечно-
го числа полюсов b ,b ,…bm 1 2 кратностью m p , p ,…p 1 2 соответственно, непрерывна на границе
С этой области и не обращается на С в 0; пусть еще f'(z) непрерывна на С. Нули f(z) области
D обозначим через e a ,a …a 1 2 , а их кратности — соответственно п1, п2… пe.
Тогда применяя к логарифмической производной функции f(z) теорему о вычетах и
предыдущую теорему получим:

где N и Р — соответственно полное число нулей и полюсов функции, причем каждый
нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.
Рассмотрим геометрический смысл левой части предыдущего выражения:

Т.к. при обходе контура С функция f(z) возвращается к своему первоначальному значе-
нию, то 1й интеграл =0, 2й интеграл ò = D
с
c d f z arg f (z)
2
arg ( ) 1
2
1
p p — это полное изменение
аргумента функции f(z) при обходе С, деленное на 2π, т.е. число оборотов вокруг точки ω=0,
при обходе кривой С. Эти соотношения выражают так называемый принцип аргумента.
Теорема
Пусть функция f(z) аналитична внутри области D всюду, кроме конечного числа полю-
сов, непрерывна на границе С этой области и не обращается на ней в нуль. Пусть f{z) непре-
рывна на С. Тогда разность между полным числом нулей и полюсов этой функции внутри D
равна числу оборотов вектора со при обходе кривой С или, что тоже самое, сумме логариф-
мических вычетов f(z) в области D: ò ¢

3. Преобразование Лапласа
11
Функцией — оригиналом будем называть любую комплексную функцию f(t) действи-
тельного аргумента t, удовлетворяющего следующим условиям:
1. Функция f(t); удовлетворяет условию Гельдера всюду на оси t, кроме отдельных то-
чек, где она имеет разрыв первого рода, причем на каждом конечном интервале таких точек
конечное число. Это означает, что для каждого t (кроме указанных исключительных точек)
существуют положительные постоянные А, а ≤1 и h0, такие, что
( ) ( ) ; a f h + t — f t £ Ah для всех 1 0 h h £ h .
2. Функция f(t) º0 для всех отрицательных t.
3. Функция f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие
постоянные М>0 ,s0³0, что для всех t справедливо выражение: f ( t ) < Metso , где so — назы-
вают показателем роста функции f(t).
Как правило, при физических приложениях эти условия выполняются.
Изображением функции f(t) по Лапласу называют функцию комплексного переменного
F(p), определяемую следующим образом:

F( p) f (t)e ptdt где p = s + jd .
Этот факт будем обозначать следующим образом: f ( t ) · F( p )
· = .
Обратное преобразование Лапласа позволяет по функции-изображению, получить
функцию-оригинал:

p , где интеграл берется по прямой Re p=a>s0
Можно показать, что функция -оригинал f(t) вполне определяется своим изображением
F(p) с точностью до значений в точках разрыва функции f(t).
Свойства преобразований Лапласа
1. Свойство линейности.
Для любых комплексных постоянных α и β af (t) + b g(t) = · aF( p) + b G( p)
· .
2. Теорема подобия.
Для любого постоянного а>0: ( ) ( ) 1

3. Дифференцирование оригинала.
Если функция f(t) непрерывна при t > 0 и f ¢(t) , f ¢¢( t ) ….. f(n)
(t) являются оригиналами,
то f ( t ) · pnF( p ) pn- 1 f ( 0 ) pn- 2 f ( 0 ) … f ( n- 1 )( 0 )
· ¢ = — — ¢ — — .
12
4. Дифференцирование изображения.
Для любого действительного значения t: ( ) ( 1) ( )
( ) F n n t n f t
p = — ·
· .
5. Интегрирование оригинала.
Для любой комплексной переменной p: ò ·
· =
t
p
f t dt F p
0
( ) ( ) .
6. Интегрирование изображения: ò
¥
·
·
=
p
F q dq
t
f (t) ( )
.
7. Теорема запаздывания: для любого положительного t : f (t t ) · e- pt F( p)
· — = .
8. Умножение оригинала.
Для любого постоянного комплексного числа р0: ( ) ( ) 0 e pot f t = · F p — p
· .
9. Теорема о свертке: Пусть есть для изображения по Лапласу F(p) и G(p), тогда:
= · ò —
·
t
F p G p f g t d
0
( ) ( ) (t ) ( t ) t .
10. Пусть даны 2 оригинала f(t) и g(t). Их произведение так же является оригиналом,
причем: ò

11. Теорема разложения:
Если F(p) правильна в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет в ее окрестно-
сти следующее разложение: å¥

F p , то оригиналом F(p) служит функция:
f t . При этом f(t) является целой функцией.
12. Вторая теорема разложения. Пусть есть функция-изображение F(p), которая:
— мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости 0 Re p > S ;
— существует система окружностей n l C : p = R ; R1<R2<….<Rn, на которой F(p) стре-
мится к нулю равносильно относительно arg p;
— для любого а > so интеграл вида ò
+ ¥
— ¥
a j
a j
F( p)dp , абсолютно сходится.
Тогда оригиналом функции F(p) служит функция f(t)=å
k
p t
p
Re s( F( p )e k )
k , где сумма
вычетов берется по всем особым точкам pk функции F(p) в порядке неубывания их модулей.
13
Импульсная функция.
Рассмотрим функцию

Интеграл от этой функции по бесконечным пределам имеет вид: ò ò

Устремим h к нулю: h( t )
h d ( t ) limd
® 0
= и назовем полученную функцию d(t) дельта —
функцией Дирака.
Она обладает следующими свойствами:

d ( t ) , но, тем не менее, для нее спра-
ведливо следующее выражение: ò
¥
— ¥
d (t)dt = 1.
Изображение δ-функции: ò
¥
· —
· = =
0
f (t) d (t)e ptdt 1.
На δ — функцию распространяются основные правила операционного исчисления,
например теорема запаздывания дает: d ( t t ) · e- pt
· — =
Таблица 1
Таблица изображений по Лапласу

4. Линейные дифференциальные уравнения n — го порядка
Обыкновенным дифференциальным однородным уравнением называется уравнение
вида:
F(t,x,x’…x(n))=0 (1)
Всякая функция х =х(t) называется решением этого уравнения, если после подстановки
этой функции, и ее производных в уравнение (1), это уравнение превращается в тождество:
F(t, x(t), x'(t),..x(n)(t))=0.
Порядок наивысшей входящей в это уравнение производной, называется порядком
уравнения.
Теорема 1.
Если x1(t), x2(t)….xn(t) — решения однородного линейного дифференциального уравне-
ния, а С1, C2, …. Сn — произвольные постоянные числа, то C1x1 + C2x2 + ….. + Сnхn также яв-
ляется решением этого уравнения.
Если правая часть уравнения (1) ¹ 0, то у нас линейное дифференциальное неоднород-
ное уравнение.
Теорема 2.
15
Если X1(t) — решение однородного уравнения (1), а X2(t) — решение неоднородного урав-
нения, то их сумма X1(t) + X2(t) также является решением этого неоднородного уравнения.
Уравнение (1), как правило, имеет бесконечное количество решений.
Совокупность всех решений дифференциального уравнения, графики которых лежат в
некоторой области G называется общим решением этого дифференциального уравнения в
области G.
Для того, чтобы из ¥ количества общих решений уравнения выделить одно, задаются
специальными дополнительными условиями: значениями функции и ее производных при
некоторых значениях аргумента. Если это условия принимают вид:
x(0)=x1, x'(0)=x2, …x(n-1)(0)=xn, то их называют начальными условиями.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Ча-
сто при решении дифференциальных уравнений мы получаем решение уравнения в виде ин-
тегральной кривой в неразрешенном, относительно х виде y(t,x)=*0. Если же в неявной фор-
ме задано общее решение (fr(t,x,Cl,C2,…Ctt)^0 — это выражение называется общим интегра-
лом дифференциального уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрирова-
нием дифференциального выражения.
Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида:
a0(t)X+al(t)X(1)+…+an(t)X(n) = F(t).
Если F(t)¹ 0, то мы имеем неоднородное линейное дифференциальное уравнение; если
же F(t) = 0, то мы имеем однородное линейное дифференциальное уравнение.
Теорема.
Если функции а0(t), a1(t),…an(t) и f(t) непрерывны на интервале (а, b), то каковы бы ни
были числа Х0, X1,… Хn. и a< t0< b, существует единственное решение уравнения (7), удовле-
творяющее начальным условиям: X(t0) = X0; X'(t0)=Xl … X(n-1)(t0)= Xn.
Решение это будет определено на всем интервале (а, b), который может быть как ко-
нечным, так и бесконечным.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n — го порядка
Левая часть линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид :
X(n)+pl(t)X(n-1)+… + pm(t)X = 0 (8)
Определение: Пусть дано п функций f1(t), f2(t), … fn(t), имеющих непрерывные произ-
водные до n-1 порядка включительно. Тогда определитель вида:
ft(t) f3(t) … fn(t) w/n f'(t) f>(t) ‘» f»(t)
W(t)~
16
/!^(t) f3
(n~l)(t) „. f<«~l)(t)
называется определителем Вронского функций f1(t), f2(t), … fn(t).
Теорема
Если коэффициенты p1(t), p2(t)… pn(t) уравнения (8) непрерывны на интервале (а, b) и
определитель Вронского решений X1(t), X2(t), … Xn(t) этого уравнения не обращается в нуль в
любой произвольной внутренней точке интервала (а, b), то общее решение уравнения (8)
имеет вид: X(t) = C1X1(t) + C2X2(t) + … + СnХn(t), где С1, С2,… Сn — произвольные постоянные.
Однородное уравнение всегда имеет тривиальное решение X(t) = 0.
Определение: Совокупность п решений дифференциального уравнения, которые не об-
ращаются в нуль ни в одной точке интервала (а, b) называется фундаментальной системой
решений на этом интервале.
Определение: Функции f1(t), f2(t) … fn(t) называют линейно зависимыми на интервале
(а, b) если существуют такие числа а1, а2…аn не все равные нулю, что при a<t<b справедливо
выражение: а1f1(t) + а2f2(t)+ …+ аn fn(t) =0.
Теорема
Если функции f1(t), f2(t) … fn(t) линейно зависимы на интервале (a, b) ,то определитель
Вронского этих функций тождественно равен нулю на интервале (а, b).
Теорема
Для того чтобы система решений X1(t), X2(t),… Xn(t) уравнения (8) с непрерывными ко-
эффициентами была фундаментальной системой решений, необходимо и достаточно, чтобы
эти решения были линейно независимыми.
Методы решения линейных дифференциальных уравнений
Метод Эйлера
Будем изучать уравнение вида:
а0Х(n)+а1Х(n-1)+…+аnХ = 0, (19)
где а0, а1, а2…аn — некоторые постоянные числа, причем а0 ¹ 0.
Ищем решение уравнения в виде X(t)=elt, где l- постоянный неопределенный коэффи-
циент. Подставим это выражение в уравнение (19) и сокращая elt, получим уравнение:
а0ln+а1l
n-1+…+аn = 0.
Это характеристическое уравнение для уравнения (19). Полином, стоящий в правой ча-
сти этого уравнения называется характеристическим полиномом.
17
Общее решение уравнения (19) имеет вид: X(t) = t
n
С el 1t + C el 2t + … + C el n
1 2 , где l1, l2,
…..ln- решения характеристического уравнения.
Решение дифференциальных уравнений операторным способом
Вернемся к общему решению дифференциального уравнения операторным способом.
Пусть есть уравнение вида: а0Х(n)+а1Х(n-1)+…+аnХ = 0, начальные условия: X(t0) = X0;
X'(t0)=Xl … X(n-1)(t0)= Xn. Перейдем к изображениям:
а0(рпХ(р)-рn-1X0-pn-2Х1—…-Xn-l) + a1(рп-1Х(р)-рn-2X0-pn-3Х1-….-Хn-2)+… + аnХ(Р)=0,
сгруппируем отдельно слагаемые, содержащие Х(р):
X(p)(а0рп+ а1рп-1 + а2рп-2+…+ аn)+а0(-рn-1X0-pn-2Х1—…-Xn-l)+ a1(-рn-2X0-pn-3Х1-…-Хn-2)+ …=0.
Обозначим элементы выражения, не содержащие Х(р) как Р(р), тогда решение нашего
уравнения в изображениях по Лапласу можно представить в виде:
n
a pn a pn …. a
X( p ) P( p )
+ + +
= — 1
0 1
(20)
В знаменателе выражения (20) расположен характеристический полином. Пусть харак-
теристическое уравнение имеет корни р1, р2, pk , а b1, b2, b/с — кратность этих корней. Тогда
характеристический полином приобретает вид:
1 2 0
0 1 2 — — × × × — bk =
k
a ( p p )b ( p p )b ( p p )
Тогда, используя метод неопределенных коэффициентов можно получить:
\
где Д^.^ — неизвестные коэффициенты.
Получив решение в таком виде, можем используя формулу: ‘ е •
перейти к оригиналам, тогда решение уравнения приобретет вид:
X(t)
Отсюда можно видеть, что решение однородного дифференциального уравнения полностью
определяется корнями характеристического уравнения.
Каждому корню/?/ кратностью at соответствует в решении слагаемое вида Ifi^,^~?*r2 где
Pj (t) — многочлен степени не выше, чем at-l.
18
Пример 1.
Решить уравнение: Ху- 3 X lv +3X*ff -X3 =0 . Характеристическое уравнение: р3 ~ Зр4 + Зр3 —
42 = 0 имеет следующие корни: р\ 2 ~ 0,рз A ,s ~ + I. Тогда общее решение имеет вид: X(t) = С,+
C2t + (cf +. C4t + С/*)г’.
Пример 2.
Решить уравнение: X’ 4- <?A»+ 2Х**0. Характеристическое уравнение: p2+2p+2*=0. Кор-
ни уравнения: />А2 ~-l±i.
Общее решение имеет вид: ЛГ(Г> = C}e(«i+i)t 4- Qe^^ = f Cye» 4- С,«~* >» существует дру-
гой способ нахождения оригинала x(t) по изображению Х(р).
x(t)=:\Res(eptx(p)) — сумма по всем точкам л, в которых есть особые точки * л
функции Лгф/ Пример,
Рассмотрим решение дифференциального уравнения х» — Зх» + Зх’ — х == 0 при начальных
условиях x(0)**2,x'(Q)*~ltx»(Q)*£-2. Решение уравнение в изображения х по Лапласу имеет вид:
Х(р)^-£-——!~~—. Перейдя от изображений к оригиналам, получим решение <Р-1)
, i v< п ,2р2 ~7р+7 а . _ уравнения в виде: xftj^^Resf———£-—е*). Здесь суммирование
производится по
ft (P-I)
индексу k от 1 до 1 вследствие того, что у нас только один полюс третьего порядка в точке
F I d*^1 Г 1
/т=1. Вычет порядка т находится как f(t)<= ———— /да —~^z~z0)mF(z)\.
(т — I)! г-*гч d2
I
• В нашем случае т » 3.
I
I Llim*L r/,_;/. Vj^ElZ,, .Lu.lLfa’-ip+ir}’
• 2!i»<dp2 е (Р-1) li-‘dp1″ ^ ‘
9L
2~\4p~-7)e^(2p2~7p^7)te^
\
»lim-fa» +(4p-7)tepl +(4p-7)tept +(2p2 -7p+7)t2ept]~
»~/HWJ4 +2(4p-7) + (2p2 -7p + 7)t2\p> «-[* -6t + lt 2 \ p t = (t2 -3t + 2/ie/*.
Ответ:
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
хм+p/t}x(°~J)+..,+Pj(t)x * я/;
Теорема
Если функции Pi(t),p3(t)…pn(t)1ff(t) непрерывны на интервале [a ,b], a Xl(t),X2(t),XJ(‘t)…Xt,
(t)- фундаментальная система решений однородного уравнения, то общее решение запишется в
19
виде: X(t) = X(t)+ClXl(t)+C2X2(t)+…+CHXn(t), где X(t) • некоторое частное решение неоднородно-
го уравнения, a CltC2..Cn -произвольные постоянные.
Использование операционного метода для решения линейных неоднородных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть есть уравнение Х(я)+pt (t)X{n~l) +…+pn(t)X ~ f(t), и заданы начальные условия: Х(0) =
Х0,Х'(0) = X,…X(-l)(0)*Xn.j,
Х(0)^Х<пХ'(0)^Х1..Х<н~1)(0)^Хп_1. Перейдя к изображению, найдем решение относительности
и изображения:
I х(р) =* р(Р)+Х«(а°р*^ +~+a’*-t)+Xi(**9P*~i +-<*n-2)+X«-tao
a0P» +a}p*-* +… + а„
I Для нахождения функции оригинала по изображению используем формулу:
I X(t)^Res^X(p)}.
I
I Пример. Решить уравнение: X* — ЗХ» -f ЗХ’ ~ X « /, при начальных условиях:
I Х(0) = Х'(0)~Х'(0) = 0.
I
20
Перейдем к изображению и получим: Х( р) = —:————•——— — ————-.
Р
3-Зр2+Зр-1 р(р-1)3
2 полюса: 1й — кратность 1 р\ = О,
2й- кратность 3 р\, рг, рз ~ 1 • Тогда
~( — 1Р~2е* + р-1 + е»)=2/?-Je» — /r’fe» — р^в» + р»^ге» ф
Ответ:
Лемма
Если q не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то суще-
ствует частное решение неоднородного дифференциального уравнения, изображение кото-
рого имеет вид: Х(р) = —^-н——-—-4-——2i^—~, где т — число корней (без учета их
Р-Ч (Р~Ч) (Р~Ч) ратноста).
Из этой леммы вытекает, что если q не совпадает ни с одним из корней характеристи-
ческого уравнения» то существует частное решение вида: X(t) = (Вв +B,t+,..+Bmtn)e’lt,
где постоянные коэффициенты Во, В/,… Вт находятся методом неопределенных коэф-
фициентов.
Пример 1.
X* — 4Х = 6Хе* , характеристическое уравнение: р2 — 4 = 0, р12 — ±2. Фундаментальная
система решений однородного уравнения: Xt(t) = e3a ;X2(t) — е’3а. Ищем решение неоднородно-
го уравнения в виде: X(t)~(B0 +Bjt)e’- частное решение неоднородного дифференциального
уравнения. Подставим его в исходное уравнение:
X'(t)^B]e’+(B0+Blt)el X*(t) = £/ + В,е’ + (B0 + B,t)e’ 2Bi + B0+B,t~4B0-4BJt~6t 2B]-3B0-
3Blt*6t
2Bt-3B0=0 B,=-4/3\ 4 ,. ,
OTKym6t+3Bjt*o «в,~-2 р>-<Г*>.
Общее решение: X(t) = C,e31 + C2e~2i — (- + 2t)e’,
Пример 2.
Решить уравнение: X» — 5X’+6X «= /.
Характеристическое уравнение: р2 -5р+б = 0. Корни рг * 2, рг = 3.
X, ~ег’,Х2^е31 — фундаментальная система решений. Будем считать, что правая часть е° =
1,
Т.к. О не является корнем характеристического уравнения, то
X(t) = В0 + В,( + £г/г — ищем в виде.
Подставим их в уравнение: 2В2 — 5(В, + 2B2t)+б(В0 + B,t + B2t2) -12, откуда:
2B3-5Bj+6B0*0 ‘-10В2+6В^О 6В2=1
В -JLB-1-B —**~МВ’~18’**~6
21
v, . 19 5 1 2 и X(t)^——•*•—t+—t — частное решение.
X(t) * Cje2′ + C2e3t + —— + —t + -/2 — общее решение,
108 18 б
Еще пример: Xя — 4Х = J6te~!l.
Нахождение уравнения по заданной фундаментальной системе решений
Рассмотрим обратную задачу о нахождении дифференциального уравнения по его ре-
шениям. К задачам такого вида сводятся задачи синтеза систем уравнений оптимальных в
некотором смысле.
Простейшей теоремой, позволяющей решить одну из таких задач, является:
Теорема.
Пусть функции yr
E,(t),Y2(t)…ytt(t}mASKyt n производных на интервале (а, Ь) и определи-
тель Вронского этих функций не обращается в нуль ни в одной точке интервала (а, Ь).
Тогда существует линейное дифференциальное уравнение п порядка вида:
Х<т) + Р,(()Х(п-*> + ,.. + pn(t)X*0,
(8)
с непрерывными коэффициентами, для которого функции y,(t)t’j’2(t)…ytl(t) образуют
фундаментальную систему решений на интервале(а, 6).
Доказательство:
Искомое уравнение может быть записано в виде равенства нулю следующего опре-
делителя:
Г, Г3 ». Yn X
v’ v’ v’ У s
Yl Y2 … Yn X =0 (1?)
v<n) v(») v(n) y(tt)
fj 12 — In л
Последний столбец состоит здесь из неизвестной функции, и ее производных до я-го
порядка.
Если разложить этот определитель по элементам последнего столбца, то мы получим
линейное уравнение п- то порядка относительно неизвестной функции. Коэффициентом
при X(H>(t) оказывается определитель Вронского функций Yl(t)^••Yn(t)^ который по условию
теоремы * 0. Поэтому можно разделить все члены уравнения на определитель Вронского и
привести к виду (8).
22
То, что каждая из функций yl(t)…ya(t)*MuuzK* решением этого уравнения (17), видно
из вида определителя, Если вместо X подставить в определитель одну из функций Yt (t), то
мы получим два одинаковых столбца, и определитель будет Ч).
Теорема
Если коэффициенты уравнения:
{X<»)+Pl(t)X<»~1>+… + pn(t)X*0
\<l<a>+<ll(t)X<«-l>+…+<in(t)X=0 ‘ ‘
непрерывны на интервале (а, Ь) и эти решения имеют общую фундаментальную систе-
му решений на этом интервале, то p,(t) s qi(t).,.p2(t) a q:(t),,..pH(t) •&. qa(t), на интервале (о,
К
Пример.
Дана система функций Xf = cost;X2 =* sint. Определитель Вронского этих функций
cost sint y,(t)^cost
sint cost y2(t)**sint
Построим уравнение, для которого эта система функций является фундаментальной
системой решений
cost sint X
-sint cost X’ = 0
‘•cost -sint X»
или
cost sint , cost sint , -sint cost
X — X + X = 0
— sint cost -cost —sint -cost —sint
, 2 , -cost sint +cost sint , ,
cos*t +sin t-l sin t + cos*t = l
= 0
X’ + X-O
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение л-го порядка
Теория линейного неоднородного уравнения вида:
Х<*> + р1(ОХ<^>+…+р(я/()Х*ЯХ), (7)
тесно связана с теорией линейного однородного дифференциального уравнения вида:
Х<н) +p{(t) X(»-J)+… + p(H/t)X = 0.
Теорема
23
Если функции Pi(t)^pn(t) и f(t) непрерывны на интервале (а, Ь), а X,(t)…Xn(t) — фундамен-
тальная система решений уравнения (8) на этом интервале, то общее решение уравнения (7)
имеет вид: X(t) — X(t)+C1Xl(t)+C2X2(t)+.,.+CnXtl(t), где X(t) — какое нибудь частное решение урав-
нения (7), а С/(Сг…Ся — произвольные постоянные.
Методы нахождения частного решения дифференциального уравнения
I. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа).
Решение ищется в виде: X(t)~Ci(t)Xl(t)+C2(t)X2(t)+…+CH(t)Xn(t), где Xl(t)…Xn(t)- фундамен-
тальная система решений уравнения (8), a C1(t).,,CH(t)- неизвестные функции, которые необхо-
димо определить так, чтобы X(t) стало частным решением уравнения (7). Для нахождения
функций Ct(t)…Ctt(t) потребуем, чтобы они удовлетворяли соотношениям:
с;*,+срг,+…+од,-0
СЖ+С2Х’2+… + С’„Х’„=0
………………………………. (31)
c’jX^ +C2x2
fn-l) +…+с’нх„(п-1) =о
С'{Хг
(и) + С’гХ2
<п) +… + С„Х(п> = f(t)
Функция Xft), которая является решением уравнения (31), является также частным реше-
нием уравнения (7).
Пример.
Найдем общее решение уравнения X*+X » ctg(t).
Характеристическое уравнение имеет вид: К1 + / = 0, его корни А/4 =±/. Система <31) име-
ет вид:
Y\ (t) ж е» -cost + i sint
\C]cost + C’2smt^O it
\ t
Решая систему, получим С’,**-cost, С’2 ~———; откуда C,(t)^-~sint,
sint
C2(t)~Intg— +cost, найдем частное решение неоднородного уравнения X(t)
= — sin(t) cos(t) + (In tg — + cos t) sin(t) » sin(t) In tg — .
jb 4*
Общее решение имеет вид: Х(t) = C{ cos(t) + C2 sin(t) + sin(t)ln tg—
Метод Коши
Пусть коэффициенты уравнения (7) pt(t), p2(t),..pn(t) непрерывны на интервале (а,
ьу.
24
Возьмем произвольное число т,а<т<b и используя фундаментальную систему решений
однородного уравнения, найдем такое решение уравнения (8) r\(t, r), которое удовлетворяет
начальным условиям: rj(r, т) — 0, г)'(т, т) = 0, г)(*~г)(т, т) = 0, rj(u~t}(r, т) = /,
t Рассмотрим функцию X(t) = F qft, т}/(т)4т. Можно показать, что она является решени-
ем уравнения (7), удовлетворяющее при /=/0 начальным условиям.
Пример.
Найти частное решение дифференциального уравнения: X*+X = f(t).
Характеристическое уравнение Л2 + 7 = 0, его корни Л1г2 * ±/. Xt = cost X2 -sint -фундамен-
тальная система решений однородного уравнения. Ищем функцию rj(t, т) в виде
jj(t,T)=yJ(T)cost+)f
2(T)smt. Для определения функций ?}(т) и у2(т) получим систему
\il(T>r)~Yi(7)cosT-¥Y2(T)sinT~0
уравнений: </? (т,т)** -Yi (f) sin т+уг (т) cosT~l
I • Y,(T)^~sint;
•: Решение этой системы: , откуда rj(t, т)**- sin т cos t+cos т sint.
\ y2(T) = cosT,
I ,
l Тогда искомое частное решение имеет вид: X(t) ~\(- sin т cos t+cosr sin t)f(t)dr.
I t,
I
I Примеры.
Х( п) = ———- откуда x(t) * -] + — (t* -2/ + 2)е’ — это частное решение неоднородного
уравнения.
Изложенный метод может приводить к громоздким вычислениям. Поэтому в ряде част-
ных случаев используют специальные методы, например:
если f(t) = (Ь0 + btt +…+bntm)e*1 то наше неоднородное дифференциальное уравнение име-
ет вид:
авх(п) + а^(я-1} +… + а„х = (Ь0+Ь/ + … + ЬтГ >*’ (36)
Если q не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то существует
частное решение уравнения (36) вида: x(t) = (Ьв + btt +… + bmtm)e^.
Значения Ь0, Ь,.. J>m ищут по методу неопределенных коэффициентов.
Бели q совпадает с корнем р, кратности а характеристического уравнения, то существует
частное решение вида: x(t) = ta'(b0+blt+…+bmtm)еф.
Пример.
Решить уравнение: х’ ~ 4х * 6te’.
Характеристическое уравнение: Л2 — 4 = 0; Л, = 2; А2 — -2.
25
Фундаментальная система решений: Xj(t) = e2t, x2(t)~e~2t.
Частное решение; x(t) = (bg + btt)el
\т = 5)
Подставим x(t) в исходное дифференциальное уравнение:
X'(t) = (b0^bjt)et+blet
\ Ary/;*^ff+vX+V’+V
| (be+b,t)e’+2bte’-4(b0+b}t)e’=6te’
I b0+blt + 2bi-4b0-4bjt = 6t
\- -3b0+2bt*-3b,t-6t
26