Лабораторная работа № 4

Цель  работы:  привить навыки по обработке экспериментальных данных, представленных в виде специально оформленной таблицы, которая  построена  по  блочному принципу, а также навыки по выделению группы наиболее сильно влияющих факторов эксперимента.

1 Общие положения

1.1  Методы  расчета

При исследовании причин разброса выходной величины технологического процесса в некоторых случаях удобно воспользоваться методами  дисперсионного анализа. Дисперсионный анализ представляет собой  метод обработки экспериментальных данных, позволяющий проверить гипотезу о наличии эффекта, вносимого исследуемым фактором, путем выделения и сравнения двух дисперсий: определяемой эффектом  изменения  уровней исследуемого фактора и характеризующей рассеяние, связанное с ошибкой эксперимента.

Помимо  исследуемого  фактора (факторов) в реальном технологическом  процессе всегда имеется множество других факторов, не поддающихся стабилизации или трудно контролируемых, которые также вызывают  рассеяние  выходной величины. При этом целесообразно искусственно создавать рандомизацию, т. е. сделать случайными эти систематически  действующие трудноконтролируемые  факторы.

Рисунок 4.1 — Схема расслоения

дисперсии тиража

Рисунок 4.2 — Представление результатов расслоенного

эксперимента в графическом виде

Тогда при дальнейшей статистической обработке экспериментальных данных влияние таких факторов будет учтено ошибкой эксперимента.

В  групповых методах технологии всегда есть иерархия обработки, каждая ступень которой вносит свою долю в общую дисперсию рассеяния  продукции.  Символически  это можно представить в виде некоторой  лестницы дисперсий (рисунок 4.1), где  — общая дисперсия рассеяния продукции групповой технологии производства;  — дисперсия, обусловленная различием средних величин соответствующей ступени технологии;  — дисперсия, обусловленная неоднородностью внутри соответствующей ступени технологии.

Для  оценки  компонентов этой дисперсионной лестницы необходимо  взять (сгруппировать, сформировать) расслоенную выборку наблюдений (таблица 4.2). При разложении общей дисперсии воспроизводимости (тиража) на составляющие, прежде всего необходимо проверить выполнение гипотезы о статистической однородности выборочной дисперсии на самых низких ступенях иерархии с помощью критерия Кохрена. Явно неудачные измерения (грубые промахи) из таблицы следует исключить  (или заменить другими, правильными). После выполнения условия

 можно приступать к обработке полученных данных.

Найдем выражение для

             (4.1)

где , для всех i=1, …, k; j=1, …, m.

Дисперсия средних значений параллельных измерений () относительно средних значений II ступени () запишется в виде

откуда

        (4.2)

где  ;    для всех i = 1, …, k.

Величина  является несмещенной оценкой  только в том случае, если = 0. Для проверки этой гипотезы сформируем отношение  Fрасч=/.  Гипотеза будет справедливой, если

 FР
< FТ [q; k(m — 1); km(n
— 1)], в противном случае величину  нельзя считать равной нулю и, значит, ее надо  учитывать при всех дальнейших расчетах.

Далее вычисляем оценку дисперсии средних значений  по I ступени () относительно общего среднего всех наблюдений:

.

Отсюда

.                        (4.3)

Чтобы проверить, является ли величина = 0 статистически неразличимой, следует и в этом случае прибегнуть к F-распределению F=/. Если FР
< FТ [q; (k — 1); k(m — 1)], то гипотеза о статистической незначимости  принимается, в противном случае (т. е. при FР ³ FТ ) отвергается.

Из сопоставления формул (4.2) — (4.3) находим

Тогда

Для более полного представления картины рассеяния выходной величины кроме абсолютных значений дисперсий нужно найти и относительные значения:

Следует сказать, что на каждой технологической операции можно создавать подобную точностную картину, которая позволит сформулировать пути улучшения технологии.

1.2 Оценка точности и стабильности

 технологического процесса

Результаты расслоенного эксперимента могут быть использованы для оценки точности и стабильности технологического процесса (ТП) и/или отдельных технологических операций.

Под точностью технологического процесса
(операции) понимают свойство ТП, обу­славливающее близость действительных и номинальных значений параметров производимой продукции, а степень этой близости задается в виде области номинала, ограниченной конструкторской нормой. Под
стабильностью технологического процесса понимают свойство ТП, обуслав­ливающее постоянство распределения вероятностей его параметров в течение некоторого ин­тервала времени без вмешательства извне. В качестве количественных показателей точности и стабильности ТП предлагаются различные критерии, однако ясно, что в любом случае про­цесс будет точным, если распределение контролируемого параметра не выйдет за границы нормы, и будет стабильным, если этого же не произойдет за некоторый интервал времени.

Для количественной оценки точности и стабильности технологической операции пред­лагается ввести показатель точности, равный отношению разности нормы и удвоенного сме­щения центра распределения контролируемого параметра относительно середины нормы к размаху распределения. Если норма имеет верхнюю Тв и нижнюю Тн границы, то для тиража показатель точности равен

                         (4.4)

а если норма имеет только верхнюю Тв или только нижнюю Тн
границу, то выражение примет вид

                                             (4.5)

где   — центр распределения тиража;   — среднеквадратичное отклонение; Z – квантиль вероятности Р0; Р0 – установленный (желаемый) процент выхода годных изделий при экономически обоснованной степени близости действительных и номинальных значений их параметров.

Аналогично для партии (I ступень в таблице 4.2) показатель точности равен

                              (4.6)

или

                                            (4.7)

а для пластин (II ступень)

                                         (4.8)

или

                                   (4.9)

Анализ результатов расслоенного эксперимента можно свести к следующим типичным ситуациям:

1) показатель точности тиража КTT >1. Процесс точен и потенциально стабилен;

2) показатель точности тиража  КTT £ 1, а по партии КТI>1. Процесс потенциально точен и стабилен, но разброс средних по партиям слишком велик;

3) показатель точности тиража КТТ £ 1, и по партии КТI £ 1, а по пластине КТII >1. Процесс потенциально точен и стабилен, но разброс средних по партиям и средних по пластинам внутри партии слишком велик;

4) показатель точности по пластинам КТII £ 1. Процесс не точен, слишком велика неоднородность параметра внутри пластины.

Анализ этих типичных ситуаций показал, что все источники большой дисперсии тиража можно объединить в две группы:

1) факторы, влияющие на положение центров распределений параметров пластин внутри партий и партий внутри тиража (в общем случае, параметров II ступени внутри I ступени и I ступени внутри тиража);

2) факторы, обуславливающие большой разброс параметров по пластине (неоднородность внутри II ступени).

Для выявления и устранения причин первой группы целесообразно использовать математико-статистическое направление причинно-следственного подхода с целью получения математической модели в виде уравнения регрессии, которое описывает положение центра распределения в некоторой области изменения параметра.

Анализ причин второй группы показал, что большой разброс параметров может быть объяснен как несовершенством ТП (неоптимальные режимы, нестабильность факторов, наличие неучтенных и неконтролируемых факторов и пр.), так и несовершенством пооперационного контроля.

На практике величины sТ,sНI,sНII  получают на основе выборочных данных, которые приво­дят к оценочным значениям  ST, SНI, SНII, отличающимся от генеральных. Для учета этого  обстоятель­ства предлагается вместо граничного значения КТгр=1 применять выражение

                (4.10)

где n – объем выборки; t(q,n =n-1) – табличное значение одностороннего критерия Стьюдента при уровне значимости q £ 0,05 и числе степеней свободы n = n – 1;
c2(q;n = n – 1) – табличное значение односто­роннего c2 – критерия при уровне значимости q£ 0,05 и числе степеней свободы  n = n – 1; l(n, b, g) — таблич­ное значение двустороннего толерантного множителя при статистической надежности  b ³ 0,95, доли выхода годных изделий g ³ P0/100  и объема выборки n.

     Выражение (4.10) пригодно для двух границ нормы, в случае одной границы толерант­ный множитель l(n, b, g) должен быть односторонним.

Поскольку величина граничного значения КТгр
зависит от объема контрольной выборки, полезно проанализировать эту зависимость в численном виде (таблица 4.1). Как видно, в случае экспресс-анализа или ориентировочных расчетов можно ограничиться усредненный значе­нием КТгр.

     Таким образом, результаты расслоенного эксперимента могут быть использованы не только для выявления оценок параметров выборочных распределений по пластине (II ступени), партии (I ступени), тиражу, приближающихся к генеральным значениям, и не только для оценки вклада каждой иерархической ступени в рассеяние тиража, но и для оценки точности и стабильности соот­ветствующих технологических операций и всего процесса в целом.

Для лучшего усвоения метода расслоенного эксперимента повторим  предыдущие рассуждения на конкретном производственном примере.

1.3 Производственный пример

В таблице 4.2 представлена выборка величины диффузионных резисторов,  измеренных  в  четырех  точках на каждой пластине, причем пластины взяты из разных мест пластинодержателя и из разных номеров  процессов  диффузии в один и тот же день. Определить влияние на разброс  величины диффузионных резисторов иерархических групп факторов.

Таблица 4.1 – Некоторые значения граничного показателя  точности

Объем выборки, n	Граничный показатель точности, КТгр
	Для 2-х границ	Для 1-й границы	Рекомендации на все случаи
27	1,071	1,108	1,075
81	1,049	1,075
125	1,019	1,063	1,040
625	1,010	1,030

Решение.Так как требуется установить влияние иерархических групп  факторов, то для решения нам следует применить метод ступенчатого планирования эксперимента. Для этого прежде всего необходимо составить таблицу расслоенной выборки наблюдения. При обработке  таблице 4.1  получим  дисперсии по строкам таблицы, которые помогут в определении однородности  выборки (воспроизводимости результатов) по критерию Кохрена:

По таблице А.6 находим GТ= 0,1393 для q = 5 % уровня значимости и числа степеней свободы nчисл = n
— 1 = 3 и nзн = km
= 36. Поскольку

G Р< G Т , то делаем вывод о воспроизводимости результатов измерений. По формулам (4.1) и (4.2) определяем  = 0,0508;  = 0,2408. При проверке по критерию Фишера получаем

По таблице А.5 находим FТ = 1,56 при q = 5 % уровня значимости и числе степеней свободы

 nчисл = k(m-1) = 30 и nзн = km(n-1)= 108. Так как FР1 > FТ, то величину  признаем значимой.

По формуле (4.3) определяем  = 14,0866, для чего предварительно вычисляем  = 4,66. Построим F-отношение

,

и по таблице А.5 найдем FТ = 2,53 для q = 5 % уровня значимости и числа степеней свободы nчисл = (k-1) = 5 и nзн = k(m-1) = 30. Поскольку FР2 > FТ , то величину      признаем значимой. Таким образом, дисперсии ступеней будут:  »  = = 0,0508; = = 0,0475; = = 0,5769. Тогда = + = 0,0983; =  +  = 0,6752, откуда ( / ) 100 % = = 7.25 %; (/ /) 100 % = 7.04 %; (/) 100 % = 85.44 %.

Из последних выражений ясно, что основной источник рассеяния выходной величины находится в группе факторов, меняющихся от одного процесса диффузии к другому.

Теперь определим показатели точности тиража, партии и пластины при условии, что норма разброса показателя по технической документации равна: нижняя граница ТН=3,7 кОм; верхняя граница ТВ=5,5 кОм.

Тогда показатель точности тиража равен

          Показатель точности партии равен

          (Примечание: центр распределения партии выбирается из имеющихся как можно ближе к центру распределения тиража );

          Показатель точности пластин равен

          Таким образом, по результатам расчетов показателей точности можно констатировать, что технологический процесс потенциально точен и стабилен, но разброс средних по партии и средних по пластинам внутри партии слишком велик. Требуется коррекция технологического процесса с помощью его математической модели.

Таблица 4.2 – Сводная таблица экспериментальных данных

2  Порядок проведения работы

2.1.  Провести предварительный расчет средних арифметических и дисперсий  строк таблицы и доказать воспроизводимость всех результатов. В случае обнаружения грубых промахов принять меры к замене их на полноценные данные.

2.2. Подсчитать  ступенчатые  вспомогательные дисперсии , ,  и доказать их значимость (незначимость).

2.3. Подсчитать дисперсии неоднородности и стабильности всех ступеней (если это возможно) и определить дисперсию тиража.

2.4.  Рассчитать показатели точности технологического  процесса по тиражу и ступеням расслоения.

2.5.  Определить приоритетное направление работ по совершенствованию технологического процесса.

3  Содержание отчёта

Отчет  по лабораторной работе должен содержать ответы на все пункты задания с приведением необходимых формул и расчетов. При  подготовке к защите работы необходимо ознакомиться с контрольными вопросами и продумать результаты лабораторной работы.

4  Контрольные вопросы

4.1  Чем  отличается  метод  расслоенного  эксперимента  от  других методов дисперсионного анализа?

4.2 Почему необходимо организовывать таблицу данных по специальным правилам?

4.3 Каковы принципы разделения дисперсии тиража изделий?

4.4 Каковы причины появления дисперсии неоднородности?

4.5 Каковы причины появления дисперсии стабильности?

4.6 Всегда ли существуют дисперсии неоднородности и стабильности?

4.7 Сколько ступеней можно использовать в методе расслоенного эксперимента?

4.8 Каковы принципы деления результатов контрольно-измерительной информации технологического процесса на ступени?

4.9 Как можно выделить определенную группу факторов для совершенствования техпроцесса, оставив остальные на первом этапе исследований без внимания?

4.10  Каковы  критерии  оценки значимости групп факторов по ступеням?

4.11 Что понимается под точностью технологического процесса?

4.12 Что понимается под стабильностью технологического процесса?

4.13 Каковы количественные оценки точности технологического процесса?

4.14 Каковы типичные ситуации анализа точности технологического процесса?

4.15 Почему реальное граничное значение показателя точности технологического процесса  отличается от теоретического? От каких условий зависит эта разница?

5  Рекомендуемая литература

5.1 Долгов Ю.А. Статистическое моделирование: Учебник для ВУЗов. – Тирасполь: РИО ПГУ, 2002. –280 с.( С. 73-84.)

5.2 Шеффе  Г.  Дисперсионный  анализ. — М.: Наука, 1980. – 512 с.(С. 112 — 174.)

5.3 Плескунин В.И. Теоретические основы планирования эксперимента  в  научных  и инженерных исследованиях: Учеб. пособие. — Л.: изд. ЛЭТИ, 1974. — 47 с.