Принимая расположение плиток, данное на рисунке к задаче на стр. 286, за первоначальное, двигайте их в следующем порядке (заполняя последовательно свободное место): 12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

Ровно 50 ходов!

Новое расположение плиток изображено на рисунке справа. Нетрудно проверить, что получившийся квадрат — магический с константой 30. Передвигая плитки, можно, разумеется, прийти и к иному расположению чисел в форме магического квадрата, но мне не известно решение, более короткое, чем в 50 ходов.

Попытайтесь! Пользуясь известной вам схемой построения магического квадрата, вы можете заблаговременно составить целый ряд магических квадратов из чисел 0, 1, 2, 3, … , 15.

Начиная составление волшебного квадрата с позиции, изображенной на рисунке к задаче на стр. 285, никогда нельзя образовать тот же магический квадрат, какой может быть получен из начальной позиции, изображенной на рисунке к задаче па стр. 286. Все различие между этими двумя позициями состоит только в том, что во втором случае нормальный порядок следования номеров плиток нарушают последние две плитки и все же никакими передвижениями плиток не удается превратить одну из этих позиций в другую. Таков основной вывод теории «игры в 15», которая была разработана математиками во второй половине прошлого века (1879 г.).

Далее, при любом беспорядочном первоначальном расположении 15 плиток в коробочке, передвигая их, можно добиться «правильного» расположении плиток в порядке возрастающих номеров от 1 до 15, либо другого расположения — с непоправимым нарушением нормального порядка двумя последними плитками.

Любопытно, что можно заранее предсказать, какая из двух позиций будет достигнута путем передвижения плиток. Для этого следует лишь выполнить вспомогательную операцию: осуществить укладку плиток, произвольно расположенных в коробочке, в порядке возрастающих номеров не при помощи передвижений, а путем обмена местами плиток, лежащих рядом в строке или столбце, и подсчитать число потребовавшихся обменов. Если полученное число четное, то это будет означать, что плитки в коробочке можно полностью упорядочить при помощи передвижений и, наоборот, невозможно их упорядочить, если полученное число нечетное.

Вспомогательная операция легко выполнима. В процессе обмена «пустая» ячейка коробочки может быть использована для сближения плиток. Перемещение на «пустую» ячейку какой-либо плитки, расположенной рядом с этой ячейкой, на подсчет числа обменов не оказывает влияния. Возьмем для примера расположение плиток в форме волшебного квадрата, изображенное на рисунке на стр. 541, за первоначальное расположение. Определим, можно ли путем передвижений добиться правильного их расположения.

Произведем «обменную» операцию для восстановления порядка и подсчитаем число обменов. Начнем с плитки 1. Чтобы поместить ее на первое место, надо произвести обмен с плиткой 13. Далее, плитка 13 должна уступить место плитке 2 (еще обмен). Чтобы поместить на «свое» место плитку 3, ее можно последовательно обменять с плитками 15, 8, 11, 5 и 6 или, что мы и сделаем, подвинуть ее на «пустое» место и обменять с плитками 14, 13, 5 и 6 (четыре обмена). Плитка 4 займет «свое» место после обмена с плитками 7, 9 к 10 (три обмена). Произвели пока 1+1+4+3=9 обменов; 4 плитки заняли «свои» места (рисунок на этой странице).

Окончательная сумма всех обменов будет для данного примера числом нечетным. Следовательно, плитки, расположенные в форме магического квадрата (рисунок на стр. 541), невозможно полностью упорядочить при помощи передвижений.

Невозможно, следовательно, и решение обратной задачи: «правильно» расположенные плитки, как на рисунке на стр. 285, разместить в форме такого магического квадрата, как на стр, 541.

Как все же образовать магический квадрат из позиции, представленной рисунком к задаче на стр. 285 — сообразите самостоятельно.