Опыт 1. Вначале установим, что в отношении составления разностей из данных чисел не считаются различными те группы чисел, которые получаются из одной (а, b, c, d) путем круговой перестановки чисел: (d, а, b, с), (с, d, а, b), (b, c, d, a) или (с, b, а, d), (b, a, d, с) и т. д., так как для окончательного результата не существенно, какое место занимает данное число в своей группе, лишь бы его окружали те же соседи (соседом четвертого числа считаем первое).
Посмотрим теперь, сколько различных между собой начальных групп из четырех чисел можно образовать, комбинируя четные и нечетные числа без указания их величины.
Первая комбинация —все числа четные [ч, ч, ч, ч,]; вторая комбинация— три четных числа и одно нечетное: [ч, ч, ч, н]. Далее: [ч, ч, н, н], [ч, н, ч, н], [ч, н, ч, н] [н, н, н, н]. Всего шесть комбинаций. Всякая другая комбинация будет круговой перестановкой одной из этих шести. У каждой из этих шести групп четвертые разности будут состоять исключительно из четных чисел. Для первой комбинации чисел [ч,ч, ч, ч] высказанное утверждение очевидно. Убедимся в его справедливости для второй комбинации: А0—[ч, ч, ч, н].
Так как всегда разность двух четных или двух нечетных чисел число четное, а четного и нечетного чисел — число нечетное, то А1= [ч, ч, н, н], Аг—[ч, н, ч, н], Л,= [н, н, н, н], А=[ч, ч, ч, ч].
Испытайте сами каждую из остальных четырех возможных комбинаций. Во всех случаях четвертый ряд разностей (A4) будет состоять из одних четных чисел (то есть все числа ряда A4 будут кратными числу 2).
Докажем теперь, что все числа восьмого ряда разностей (A3,) кратны 4. Для доказательства заменим временно числа четвертого ряда разностей их половинками и составим первый ряд разностей из этих половинок. Чем будет отличаться этот ряд от пятого ряда настоящих разностей?
Ответ. Его числа тоже будут половинками чисел ряда A5. Например,
тогда
Если же составим ряд из половинок: (2, 3, 6, 11), то ряд разностей (1, 3, 5, 9) тоже составляет половинки чисел ряда A5.
Такое соотношение между числами останется и для последующих рядов разностей, то есть второй ряд разностей половинок составит половину ряда A6, третий ряд разностей половинок составит половину ряда A7, четвертый ряд разностей половинок составит половину ряда Л8. Удвоив все числа четвертого ряда половинок, получим числа ряда A8. Но четвертый ряд разностей половинок, как всякий четвертый ряд разностей, непременно состоит из четных чисел, а числа ряда A8 еще вдвое их больше, следовательно, числа ряда A8
делятся не только на 2, но и на 4, что и требовалось доказать. Если, например,
— числа, кратные 2, то
, A6=(4, 4, 8, 16), A7=(0, 4, 8, 12), A8=(4, 4, 4, 12)—числа, кратные 4.
Продолжая рассуждения, устанавливаем, что еще через четыре ряда разностей получим числа двенадцатого ряда разностей, A12, которые делятся на 8, то есть на 23; числа ряда A16 делятся на 24 и т. д. Так, например, числа разности A40
должны делиться на 210 = 1024. Предположим, что ни одно число начального ряда не больше 1000. Сколько бы последовательных разностей мы ни составляли, получающиеся числа и подавно не превысят 1000.
Допустим, что составлено из данных четырех чисел 39 разностей и ни одна из них не состоит полностью из нулей. Тогда A40 обязательно состоит только из нулей, ибо ни одно число этой разности не больше 1000, а в то же время все числа A40
должны делиться на 210 = 1024. Но есть только одно неотрицательное число, которое меньше 1000 и делится на 1024,— это нуль. Следовательно, все числа A40 — нули.
Если начальные числа больше тысячи, но меньше миллиона, то нули должны образовываться по крайней мере в восьмидесятой разности (практически всегда значительно раньше), так как числа разности A80
должны делиться на 220= 1 048 576, а единственное неотрицательное число, меньшее 1 000 000 и делящееся на 1 048 576, — это нуль. Так можно распространить доказательство на любую четверку данных чисел.
Итак, нет такой четверки чисел, последовательные разности которых рано или поздно не обратились бы в нуль.
Опыт 2. Для доказательства подмеченного свойства чисел московский математик И. Я Танатар предлагает такую схему рассуждений:
1) нетрудно доказать, что сумма квадратов цифр любого числа, в котором не менее трех цифр, меньше самого числа; отсюда следует, что с какого бы числа мы ни начали опыт, на некотором этапе опыта получим двузначное число.
2) для двузначных чисел рассматриваемое свойство проверяется непосредственно.
Как это и бывает часто — ларчик просто открывался.
