Уменьшим испытуемое число на 1 и припишем ее отдельным слагаемым. Тогда число примет вид
При
это будет 15+1=16; при
это будет
и т. д. Заметим, далее, что число
можно выразить как сумму степеней числа 10 плюс 1:
Если это ясно, то обратимся снова к испытуемому числу и подвергнем его следующим преобразованиям:
Выражение в первой скобке преобразуется по формуле
(некоторые сведения об этой формуле см. в главе XI «Делимость чисел», стр. 228), тогда
что и требовалось доказать. Итак, как бы ни разрастался маленький «числовой кристаллик» 16 от многократного вписывания в его середину числа 15, число
всегда будет квадратом числа
Второй двузначный «кристалл» — 49. В этом случае
Доказательство аналогично предыдущему.
Как изобразить остальные числа, придумайте сами.
Единицу девятью цифрами можно изобразить так: 123456789
(показатель степени может быть составлен произвольно из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
