Пусть а, b, с, d — цифры; при этом
.Тогда
 Найдем цифры разности r=М—m. Возможны лишь 2 случая:

1)            если b > c, то

2)            если b = c, то

В первом случае сумма крайних цифр разности равна 10, а сумма средних цифр равна 8. Во втором случае сумма крайних цифр равна 9, а сумма средних цифр равна 18. Это значит, что обе средние цифры девятки.

Такую структуру должна иметь не только первая разность, но и все последующие. Следовательно, достаточно испытать лишь такие четырехзначные числа, цифры которых удовлетворяют выведенным условиям. Так как важна группа цифр, а не их расположение в числе, то требуемым условиям будут удовлетворять числа с такими группами цифр:

9801      8802      7803      6804      5805

9711      8712      7713      6714      5715

9621      8622      7623      6624      5625

9531      8532      7533      6534      5535

9441      8442      7443      6444      5445

и еще: 9990, 8991, 7992, 6993, 5994. Всего получилось 30 возможных разностей (в смысле группы цифр), с какого бы четырехзначного числа М мы ни начинали.

Результат испытания этих чисел представлен схематично на стр. 552, где записаны числа наибольшие для данной группы цифр, а стрелками указан переход одного числа в другое после выполнения операции. Рисунок показывает, что для любого начального четырехзначного числа М потребуется не более семи операций, чтобы прийти к разности 6174.

Инженер В. А. Орлов (Москва) предложил вполне подходящее название для окончательной разности — «полюс». Действуя указанным методом, нетрудно обнаружить, что полюсом трехзначных чисел будет 495, а у двузначных чисел полюса нет; вместо полюса они дают повторяющийся цикл разностей:

Для любого пятизначного числа средней цифрой разности является

9, а остальные 4 цифры связаны такой же зависимостью, как и в случае четырехзначных чисел (убедитесь в этом!), поэтому исследование пятизначных чисел сводится также к испытанию тридцати чисел, которые получаются приписыванием цифры 9 к каждому из соответствующих тридцати четырехзначных чисел. Эти числа образуют три цикла разностей, из которых один — замкнутый, а два — с ответвлениями (см. стр. 554).

Забавную особенность полюсов подметил В. А. Орлов. Возьмем полюс трехзначных чисел 495, разобьем его цифры на три группы и вклиним цифры 5, 9, 4:

Если к полученному числу 549 945 применить описанный процесс вычитания, то оно перейдет само в себя: 995 544 — 445 599 = 549 945, то есть будет полюсом шестизначных чисел.

Продолжаем включение цифр 5, 9, 4:

Замечаем то же явление: 999 555 444—444 555 999=554 999 445, то есть получаем полюс девятизначных чисел и т. д.

Возьмем теперь полюс четырехзначных чисел 6174. Также разобьем его цифры на три группы и вклиним цифры 3 и 6:

Опять обнаруживается, что получилось число 631 764, переходящее само в себя: 766 431—134 667=631 764.

Значит, 631 764 — еще один полюс шестизначных чисел. Продолжаем включение цифр 3 и 6:

По-прежнему,

76 664 331 — 13 346 667=63 317 664.

Число 63 317 664 — полюс восьмизначных чисел. Процесс можно продолжать бесконечно.

Более того, если взять цикл шестизначных чисел (шестизначные числа дают один цикл с ответвлениями и два полюса, из которых один изолированный — убедитесь!) и в каждое число цикла вклинить те же цифры 3 и 6, то получится цикл восьмизначных чисел:

И здесь процесс вклинивания цифр 6 и 3 можно продолжать бесконечно.