Мой юный друг слишком доверился своему глазу и не подкрепил своих действий доказательствами, что и привело его к кажущимся противоречиям.
Вопреки его утверждениям он ни разу не получал сплошного прямоугольника из частей квадрата; обязательно должны были поручаться щели, может быть, незаметные для глаза, или незаметное наложение одной части на другую.
Проанализируем какой-нибудь из его «благоприятных» случаев, например тот, когда сторона квадрата в 64 клетки делилась на части длиной в 5 и 3 единицы (рисунок к задаче на стр. 373). Складывая треугольник А с трапецией С и треугольник В с трапецией О, как показано на рисунке справа мы не можем получить слияния линий ЕFК и ЕНК в одну диагональ ЕК прямоугольника, так как линии ЕFК и ЕНК не прямые, а ломаные с очень небольшим изломом в точках F и Н.
Это легко доказать. Пусть М — точка, в которой пересекается сторона КL прямоугольника с продолжением стороны ЕF треугольника ЕFN.
Если ЕFК — прямая, а не ломаная, то точка М совпадет с точкой К. Проверим расчетом, совпадают ли эти точки.
Из подобия треугольников ЕFN и ЕМL имеем соотношение
Отсюда
, в то время как
.
Точка М, как видите, не совпадает с вершиной К, значит, ЕFК, а также и ЕНК ломаные.
Площадь прямоугольной фигуры КLЕG действительно содержит 65 клеток, но в ней есть ромбовидная щель ЕFКН, площадь которой как раз и составляет одну клетку.
Остается разобрать два вопроса:
1) почему у нашего «экспериментатора» расхождение между площадью квадрата и площадью «прямоугольника» во всех случаях, казавшихся ему удачными, составляло ровно одну клетку, и
2) при каком делении сторон квадрата он мог бы получить сплошной прямоугольник, а, следовательно, и полное совпадение площадей?
Обратимся к помощи алгебры. Площадь квадрата (см. рисунок к задаче на стр. 372) равна
Площадь прямоугольника (см. тот же рисунок) равна
. Разность R между площадью прямоугольника и площадью квадрата равна
Площади квадрата и прямоугольника будут равными, если
Разделив на у2 , получим квадратное уравнение относительно x/y:
Принимая во внимание только положительное решение, имеем:
Только при таком (иррациональном) отношении частей х и у стороны квадрата при разрезании его на два равных треугольника и две равные трапеции возможно полноценное превращение квадрата в прямоугольник.
При рациональных значениях х и у R не может равняться нулю. При целых значениях х и у наименьшая возможная разность между площадями R=1. Вот этой наименьшей целой разности R мой юный друг и достигал, когда брал в качестве значений х и у пару рядом стоящих чисел ряда Фибоначчи (в первом опыте х=5, у=3 (стр. 372), во втором х=8, у=5, в двух следующих x=13, у=8 и x=21, y=13), так как именно они удовлетворяют одному из уравнений
(см. стр. 370).
