Правильное ведение игры и на этот раз обеспечивает победу тому, кто делает первый ход. Но найти верный путь к победе в этой игре труднее, чем в предыдущих.
Начинающий игру первым ходом должен взять 2 спички, а затем в зависимости от того, сколько спичек берет противник, придерживаться следующего правила.
Если у противника четное число спичек, то надо оставить ему такое количество спичек, которое на 1 больше кратного шести (19, 13, 7); если у противника нечетное число спичек, то надо оставить ему такое количество спичек, которое на 1 меньше кратного шести (23, 17, 11, 5), а если это окажется невозможным, то оставить ему количество спичек, кратное шести (24, 18, 12, 6).
Вы берете, например, 2 спички, а ваш противник 4 или 2 (четное число). Остается 27—6=21 спичка или 27—4=23 спички. В соответствии с правилом вы берете 2 спички или 4, чтобы оставить противнику 19. Если же противник взял 3 спички (нечетное число), то осталось 27—5=22 спички. Так как до 17 спичек довести остаток вы не можете (нельзя взять 5 спичек), то вам следует взять 4 спички чтобы остаток составил 18. Если противник взял одну спичку, то и вам следует взять одну спичку, чтобы остаток составил 27—4 =23 спички, и т. д.
Правило это вытекает из следующих рассуждений (играют А и В):
1. Пусть к концу игры на столе осталось 5 спичек. Это выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет нечетное число спичек. (Так как взято 22 спички, то А при этом может иметь тоже только нечетное число спичек.) Можно рассмотреть все варианты возможного продолжения игры:
А В А В А В А В
имел нечет нечет нечет нечет нечет нечет нечет нечет
взял — 1 — 2 — 3 — 4
взял 3 1 3 – 1 1 1 –
чет нечет чет нечет чет нечет чет нечет
Если же В (а значит, и А) имеет четное число спичек, то оставлять на его ход 5 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу (убедитесь!).
2. Пусть к концу игры на столе осталось 6 спичек. Это тоже выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет нечетное число спичек. (При этом А, очевидно, имеет четное число спичек.) В самом деле:
А В А В А В А В
имел чет нечет чет нечет чет нечет чет нечет
взял — 1 — 2 — 3 — 4
взял 4 1 4 — 2 1 2 —
чет нечет чет нечет чет нечет чет нечет
Если же В имеет четное число спичек (значит, А нечетное), то оставлять на его ход 6 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу. В самом деле, стоит только В взять одну спичку, и тогда А оказывается в таком же положении, в каком был В при оставшихся пяти спичках (см. п. 1).
3. Пусть к концу игры осталось на столе 7 спичек. Это выгодно для А только в том случае, когда следующий ход В и он имеет четное число спичек. (При этом А, очевидно, имеет тоже четное число спичек.) В самом деле:
А |
В |
А |
В |
А |
В |
А |
В |
|
имел |
чет |
чет |
чет |
чет |
чет |
чет |
чет |
чет |
взял |
— |
1 |
— |
2 |
— |
3 |
— |
4 |
взял |
1 |
— |
4 |
1 |
4 |
— |
2 |
1 |
далее тся к |
своди-п. 1 |
чет |
нечет |
чет |
нечет |
чет |
нечет |
Если же В (а значит, и А) имеет нечетное число спичек, то оставлять на его ход 7 спичек для А невыгодно — ведет к проигрышу. В самом деле, стоит только В взять одну спичку, и тогда А оказывается в таком же положении, в каком был В при оставшихся 6 спичках (см.п. 2).
4. Оставлять после своего хода 8, 9 или 10 спичек во всех случаях для А невыгодно — ведет к проигрышу. Пусть, например, после хода А на столе осталось 8 спичек. Возможны 2 случая:
I. А имеет нечетное число спичек, В — четное; В берет 3 спички; теперь у него тоже нечетное число спичек. Остается на столе 5 спичек. В этом случае, как известно (см. п. 1), проигрывает тот, чей ход. Ход А, значит, А проигрывает.
II. А имеет четное число спичек, В — нечетное; В берет одну спичку. У него становится четное число спичек. Остается на столе 7 спичек. В этом случае, как известно (см. п. 3), тоже проигрывает тот, чей ход. Ход А, значит, A проигрывает. Такая же возможность повернуть игру в свою пользу появляется у В и в тех случаях, когда
A после своего хода оставит на столе 9 или 10 спичек. Анализ этих случаев проведите самостоятельно.
5. При дальнейшем увеличении числа спичек, оставленных на столе после хода А, то есть для 11, 12, 13.,.. спичек, условия выигрыша повторяются в том же порядке, как для 5, 6, 7,… оставленных спичек, что и подтверждает высказанное выше правило ведения игры «на выигрыш».
Пусть, например, после хода А осталось на столе 11 спичек. Нетрудно показать, что А выигрывает, если у В (а значит, и у самого А) нечетное число спичек. Действительно,
Рассмотрите сами еще несколько случаев, хотя бы, например, для 12 и 13 оставленных спичек.
6. Остается еще показать, почему при 27 спичках первым ходом следует брать именно 2 спички — не больше и не меньше. Если вы возьмете 1 спичку, то противник может взять 2; останется 24 спички, и вам не удастся оставить ему 19 спичек, как того требует правило.
Если вы возьмете 3 спички, то противник может взять 1; останется 23 спички. Ход ваш, а при 23 оставшихся спичках проигрывает тот, кто имеет нечетное число спичек и делает очередной ход (см. п. 5).
Если вы возьмете 4 спички, то и противник возьмет столько же; останется 19 спичек. Ход ваш, а при 19 оставшихся спичках проигрывает тот, кто имеет четное число спичек и делает очередной ход (см. п. 5).
Если же вы возьмете 2 спички, то, сколько бы ни взял противник, вы сможете повернуть игру в свою пользу в соответствии с правилом.