Ответ 295.1.

Для отыскания числа № 5 по вертикали можно сделать два предположения: оно или 543, или 567 (см. условие). Испытаем первое: 543. Если это так, то первые две цифры четырехзначного числа № 6 по горизонтали:

34, а все полностью оно состоит, по условию, из произведения чисел 77 и
 (х — неизвестная цифра десятков). Наиболее подходящее значение для х — число 4, но 77 X 43 = 3311. Цифра сотен не совпадает с той, которая должна быть.

Испытаем второе возможное число № 5 по вертикали: 567. Теперь первые цифры числа № 6 по горизонтали: 36, они же должны быть первыми цифрами произведения чисел 77 и х7. Наиболее подходящее значение для х—число 4. Проверяем: 77X47=3619. Это и будет число № 6 по горизонтали, а 47 удовлетворяет условию для числа № 8.

Остается найти числа № 7 по вертикали и № 9 по горизонтали. Комбинируя множители чисел № 1 по горизонтали и № 3 по вертикали, легко установить, что числом № 7 по вертикали будет 99. Число № 9 по горизонтали будет 39. Все клетки данного квадрата заполнены (см. рисунок на предыдущей странице).

15           0             7             32           4з .

51           69           77           4             2

и             9             8             7             6

91           1             ;              7             17

7             4             2             9             3

Ответ 295.2.
 Решение можно получить, например, следующим путем. Прежде всего следует определить числа №№ 1 и 8 по горизонтали.

Для составления этих двух пятизначных чисел должны быть употреблены все 10 цифр, а разность чисел должна быть числом трехзначным (см. № 3). Это значит, что разность первых цифр искомых чисел равна 1. Определилась первая цифра чисел №№ 5 и 10 (рисунок а на этой странице).

Если наибольший множитель числа № 3 (см. № 5) начинается с 1, то его наименьший двузначный множитель, очевидно, тоже начинается с 1. Определилась первая цифра числа № 11.

Еще одна единица будет, по условию, первой цифрой числа №2, а второй его цифрой будет 7. Эта же цифра выражает десятки числа № 8 (см. № 7). Так как последние две цифры числа № 9 по горизонтали определились (две единицы), а все оно составляет одну девятую суммы чисел №№ 1 и 8 по горизонтали, то сумма единиц этих чисел равна 9 и сумма их десятков тоже равна 9. Следовательно, первой цифрой числа № 3 является цифра 2. Она же — последняя цифра числа № 7. Если х и у — цифры единиц чисел №№ 1 и 8 по горизонтали, то выяснилось, во-первых, что х+у=9, а вовторых, 2х=у (см. № 4). Отсюда х=3, у—6. Число № 4 определилось полностью: 326.

Вторая цифра числа № 7 равна 11—7=4 (см. №3). Зная цифру сотен разности чисел №№ 1 и 8 по горизонтали и цифру сотен числа № 1 по горизонтали (1), легко определить цифру сотен числа № 8: она равна 8. Так же легко теперь определяются (по методу исключения) первые две цифры чисел №№ 1 и 8 по горизонтали (рисунок а выше). Далее определяем число № 9 по горизонтали (11111). У числа 247 два множителя: 19 и 13. Это дает числа №№ 5, 10 и 11.

Найдем теперь число № 6 по вертикали. Обращенное число — четырехзначное, оканчивается на 99 и состоит из произведения числа 247 на простое, двузначное. Подходит только 17. Следовательно, обращенное число № 6 равно 4199 и состоит из трех простых множителей: 13, 17 и 19. Число № 6 по вертикали: 9914. Решение показано на рисунке б на предыдущей странице.

Ответ 295.3.
 Просматривая по таблице квадраты трехзначных чисел, мы найдем только одно такое число, которое одинаково читается как

слева направо, так и справа налево: 698 896. Знание этого числа дает ключ к определению чисел №№ 10 и 11 по вертикали, а вслед за ними и чисел №№ 4 и 9 по вертикали, №№ 13, 15 и 5 по горизонтали. Отыскание числа № 1 по вертикали состоит в решении небольшой задачи: найти наименьшее целое число, дающее при делении на 2, 3, 4, 5 и б соответственные остатки 1, 2, 3, 4 и 5. Прибавим к искомому числу 1, тогда оно будет делиться на 2, 3, 4, 5 и 6. Перемножая все простые множители, входящие в эти числа в наибольших степенях, в которых они встречаются, получим 2²∙3∙5 = 60, а искомое число будет 59. Отсюда число № 1 по вертикали 59—8—51.

Найдем число № 1 по горизонтали. Есть только два четырехзначных квадрата простого числа: 5041 (=71²) и 5329 (=73²). Первое число не подходит, так как нуль не может возглавлять число №2 по вертикали. Одновременно становится известным и число № 8 по горизонтали (73). Число № 2 по вертикали определилось частями; остается проверить для контроля сумму его цифр. Единственное простое двузначное число, начинающееся с девяти, это 97. Тем самым определилось число № 3 по вертикали. Остальное просто. Окончательное решение изображено на рисунке.