Старый машинист рассуждал так: возраст ребенка должен быть не меньше трех лет (это следует из условия) и не больше 15 (по смыслу слова «ребенок»). Значит, через три года ребенку будет не меньше шести и не больше 18 лет. Но между числами 6 и 18 есть только два таких целых числа, из которых точно извлекается квадратный корень, а именно: 9 и 16. Испытываем 9; 9—3=6; Ö9+3=6. Число 16 не приводит к подходящему ответу. Значит, возраст ребенка равен 6 годам.
Ответы на дополнительные вопросы.
1. Галя имела в виду следующие решения.
Арифметическое. Пусть а — возраст ребенка 3 года назад. По условию задачи квадрат этого числа больше его на 6, то есть а2
— а = 6, или а (а—1) = 6.
Если предположить, что а — число целое, то а и а—1 являются делителями числа 6. Но 6 = 3 ×2 = 6 ×1. Из этих двух разложений только первое дает множители, разнящиеся на 1. Следовательно, а=3, и возраст ребенка равен 3+3=6 годам.
Алгебраическое. Пусть х — возраст ребенка в настоящее время. Три года назад ему было х—3 лет, а через 3 года будет х+З лет.
По условию х + 3 = (х – 3)2.
Отсюда х2 + 7х + б = 0.
Корни этого уравнения х1=6 и х2=1. Но по смыслу задачи х>3. Следовательно, имеем одно решение: х=6.
2. Пусть возраст х; тогда, по условию:
x + N = (x – N)2.
Отсюда ясно, что для отыскания целых и положительных х и N достаточно взять любое число, являющееся полным квадратом, и разбить его на два слагаемых (х и N) так, чтобы их разность давала корень квадратный из взятого числа. Возьмем, например, 9, тогда N=3, x=6, так как 6+3=9, а 6—3=Ö9. Получились числа Галиной задачи. Возьмем 16, тогда N=6, x=10, так как 10+6=16, а 10—6=Ö16. Возьмем 25, тогда N=10, х=15, так как 15+10=25,
а 15—10=Ö25 и т. д.
3. Пусть требуется найти х, удовлетворяющее условию задачи при заданном N. Внимательно вникнув в условие задачи, легко понять такой путь решения. Найти квадратное число, ближайшее к 2N и большее, чем 2N; извлечь из него квадратный корень и к результату прибавить N. Если, например, N—3, то 2N=6, ближайший
больший квадрат 9; Ö9+3=6; действительно, в этом случае х=6.
Если N=6, то 2N=12, ближайший квадрат 16; Ö16+6=10; ответ: х=10. Если N=10, то 2N=20; берем 25, Ö25+10=15; ответ: х=15 и т. д.
