Удалось ли вам догадаться, что гость составлял числа так: средней цифрой числа была произвольная цифра, кроме нуля, а сумма остальных цифр делилась на 9 без остатка. Но мало догадаться; надо и доказать, что любое число с такой особенностью цифр будет обладать свойством, указанным в условии.
С этой целью вспомним прежде всего, что если некоторое число S делится на 9, то, складывая все его цифры, мы получим новое число (S1), которое тоже делится на 9. Далее, если число S1— неоднозначное, то, складывая его цифры, мы получим еще одно число (S2), которое тоже обязано делиться на 9, и т. д. Продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к однозначному числу, делящемуся на 9. Но единственное однозначное число, которое делится на 9, это само 9.
Теперь обратимся к такому числу: …cbaxmnp…, сумма всех цифр которого без средней S =…с + b + a + m + n + p… по условию делится на 9.
Если число S однозначное, то оно 9, если же неоднозначное, то сумма его цифр или какая-либо из последующих сумм цифр получающихся таким образом чисел, как сказано, обязательно 9. Следовательно, повторяя несколько раз процесс сложения всех цифр сначала у данного числа… cbaxmnp …. затем у суммы его цифр и т. д., мы неизбежно придем к числу 9+x, где х—средняя цифра данного числа. А окончательная сумма цифр для числа 9+x равна х. В самом деле, придадим числу 9+х такой вид: 10+(x—1). Сумма его цифр: 1+0+x—1 = х.
