Иногда возникает необходимость построить такой прямоугольный треугольник, у которого оба катета и гипотенуза выражаются целыми числами. Целые числа, пригодные для этой цели, и называют пифагоровыми, так как они должны удовлетворять найденному Пифагором соотношению между катетами х, у и гипотенузой г:

Назначая длины катетов х и у наугад, гипотенузу z можно вычислить по формуле
 однако трудно

наугад так выбрать целые значения х и у, чтобы z тоже оказалось целым.

Например, при
 получаем
, хорошо известный «египетский» треугольник (3, 4, 5), но при

гипотенуза
не выражается целым числом.

Тем не менее пифагоровых чисел существует бесчисленное множество.

Любое комплексное число
 с целыми а и b является числом, производящим пифагоровы числа

Напомню прежде, что буквой  i  обозначается
, причем
 С учетом этого соотношения комплексное число возводится в квадрат по формуле «квадрат суммы».

Например,

Квадрат всякого комплексного числа
также является комплексным числом вида
. Числа х, у и
 всегда будут пифагоровыми числами.

Так, для примера а) имеем:

для примера б) имеем:

Захотелось, положим, нам произвести тройку пифагоровых чисел из чисел 1 и 4. Составляем комплексное число
 (или другое: 4 + i). Возводим в квадрат:

Теперь имеем:

Простой, легко запоминающийся способ!

Если эти вычисления произвести в буквенной форме, получатся хорошо известные формулы для подбора пифагоровых чисел х, у и z:

Отсюда

где а и b — произвольные целые числа.

Любопытно заметить дополнительно, что куб любого комплексного числа аналогичным путем приводит к решению уравнения

Пусть, например,

Возведем в куб:

Действительно,

Еще пример:

Имеем:

Таким приемом вы легко найдете любое количество решений в целых числах уравнения

для любого целого n.

Найдите, например, какую-нибудь тройку чисел х, у и z, удовлетворяющих уравнению