I.             Почти во всем мире пользуются теперь единой системой счисления: десятичной. В этой системе употребляется десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0, и этих цифр достаточно, чтобы записать любое число.

Для примера, давайте образуем самое большое десятизначное число из всех десяти цифр, применяя обыкновенную, общепринятую форму записи числа. Вот оно: 9876543210. Всякая перестановка цифр в этом числе приведет непременно к меньшему числу, не так ли?

Попутно любопытно было бы выяснить, сколько же различных целых десятизначных чисел можно записать при помощи десяти цифр, употребляя каждую цифру только по одному разу.

Миллион? Или меньше? Как это установить, не составляя, конечно, самих чисел?

II.            Установив, что десятизначных чисел с неповторяющимися цифрами свыше трех миллионов,

вытащим из этой груды чисел всего лишь шесть:

1037 246958, 1046389752, 1286375904, 1307 624 958, 1370258 694, 1462 938570.

Что же интересного в этих с виду ничем не примечательных числах?

Разделите каждое из предложенных шести чисел на 2, а получившиеся частные —на 9. Готово? Первая операция привела к девятизначным числам. Вторая — к восьмизначным. Появились ли повторяющиеся цифры хотя бы в одном из чисел, получившихся в результате первой и второй операции?

Далее, вторая операция привела к числам, которые не содержат цифру 9. Но если вы исчезнувшую девятку припишите в конце одного из этих чисел, то оно станет полным квадратом, то есть таким числом, из которого «нацело» извлекается квадратный корень. Определите самостоятельно, какое из шести восьмизначных частных обладает этим свойством.

Есть и такое десятизначное число с неповторяющимися цифрами, при делении которого на 9 получается частное, одинаково читающееся как слева направо, так и справа налево. Удастся ли вам найти его?

III. Для дальнейших наблюдений над курьезными свойствами чисел изберем два числа:

а = 123456789 и Ь = 987654321 — наименьшее и наибольшее из девятизначных чисел, состоящих из неповторяющихся цифр без нуля. Разность Ь — а состоит из тех же цифр:

987 654 321 —123 456 789 =864197 532. Далее, если все однозначные числа, кроме нуля и единицы, поочередно умножить на числа а и Ь, то у произведений можно заметить такие общие свойства, по которым все однозначные множители можно разбить на две группы:

2, 4, 5, 7, 8 и 3, 6, 9. Какой же особенностью обладают числа каждой из этих групп относительно их произведений на а и на b?

По отношению к делению чисел а и 6 на те же однозначные числа также можно заметить некоторую особенность, отличающую числа первой группы от чисел второй группы. Какую?

Число а обращается в число Ь при помощи двух действий: умножения а на некоторое однозначное число и увеличения получившегося произведения на другое однозначное число.

Найдите подходящий множитель и слагаемое.

IV. Если число 12 345 679, цифры которого расположены в порядке возрастающей последовательности, но без восьмерки, умножить сначала на любое однозначное число, а затем на 9, то все цифры окончательного результата будут совпадать с цифрой первого однозначного множителя. Например,

Проверьте на других множителях и найдите объяснение этому курьезному явлению.