I.             Телеграфная лента разорвалась как раз посредине числа 9801. На одном куске ленты оказалось 98,

а на другом 01. Развлекаясь, я подсчитал сумму этих чисел, результат возвел в квадрат и… к своему удивлению,

снова получил исходное число (98+01)² = 9801.

Нетрудно проверить, что таким же свойством обладает и число 3025. Если его разбить на два числа 30 и 25, сложить их и сумму возвести в квадрат, то результат будет равен исходному числу.

Среди четырехзначных чисел, кроме указанных, есть еще только одно с таким же свойством. Как я это установил — расскажу в решениях. Какой способ решения вы избрали бы в этом случае?

II.            Запишем один под другим несколько рядов чисел:

Первое число в каждом ряду 1, а все последующие числа больше предыдущих: в первом ряду на 2, во втором на 3, в третьем на 4 и т. д. (такие ряды называются арифметическими прогрессиями). Получилась некоторая таблица чисел. Если сгруппировать и складывать эти числа по пунктирным коридорчикам (в старину их называли гномонами), то сумма чисел в каждом пунктирном коридорчике будет равна кубу его номера л. Например, в коридоре №2:

1+4+3=2³.

В коридоре № 3:

1+5+9+7+5=3³

и т. д.

Вообще сумма чисел в каждом n-м коридорчике равна n².

Далее, любое число, расположенное вдоль диагонали АС, является квадратом номера занимаемой им строки. Сумма чисел в любом квадрате, диагональю которого является какая-нибудь часть диагонали АС, тоже представляет собой полный квадрат, то есть равна квадрату некоторого числа.

Например, сумма чисел в квадрате, имеющем своей диагональю 25, 36 и 49, будет:

Проверьте это свойство для других участков диагонали АС. Поищите аналогичные свойства у чисел следующей

таблицы:

1             3             5             7             9             11           13 …

1             5             9             13           17           21           25 …

1             7             13           19           25           31           37 …

1             9             17           25           33           41           49 …

1             11           21           31           41           51           61 …

.              .              .              .              .              .              .

III. Много любопытных свойств можно обнаружить у числа 37.

1)            Если его умножить на 3 или на число, кратное 3 (до 27 включительно), то результат изобразится какой-либо одной цифрой, повторенной 3 раза:

2)            Произведение числа 37 на сумму его цифр равно сумме кубов тех же цифр:

3)            Если из суммы квадратов цифр числа 37 вычесть произведение тех же цифр, то получится опять 37:

4)            Наиболее интересное свойство: возьмем наудачу какое-нибудь трехзначное число, кратное 37, например

37 ∙ 7=259. Все числа, получающиеся из числа 259 при круговой перестановке его цифр, то есть числа 925 и 592, тоже делятся на 37.

Круговой перестановкой цифр называется такая перестановка, когда каждый раз последнюю цифру числа переносят на первое место, не изменяя порядка расположения остальных цифр.

Возьмем наудачу еще одно трехзначное число, кратное 37. Пусть это будет
Круговая перестановка цифр дает числа 518 я 851. Они тоже делятся на 37, Естественно, что напрашивается такое предположение: всякое число, получающееся при круговой перестановке цифр трехзначного числа, кратного 37, тоже кратно 37.

Проверьте, для всех ли трехзначных чисел, кратных 37, оправдывается высказанное предположение. Если, действительно, для всех, то предположение превращается в правильное математическое предложение.

Подобным же свойством отличаются и пятизначные числа, кратные
41. Так, числа

 как легко проверить, все кратны 41 икаждое получается из предыдущего путем круговой перестановки цифр, составляющих число.