Попробуйте «в уме» умножить 142 857 ну хотя бы на 493 или на любое другое трехзначное или двузначное число. Не думайте, что это очень трудно. Не нужно обладать какими-то особыми вычислительными способностями, чтобы дать ответ в течение одной минуты, а при сноровке и того быстрее.
Вспомните свойство числа 142 857, связанное с умножением его на какое-либо двузначное или трехзначное число: если в семизначном произведении зачеркнуть одну, а в восьми — и девятизначных произведениях две и три первые цифры и прибавить их к последним цифрам соответствующего произведения, то получится одна из круговых перестановок числа 142 857 (см. задачу 345).
Число 142 857 есть период дроби 1/7 при обращении ее в десятичную.
Следовательно, умножение числа 142 857 на 493 сводится к умножению числа 493 на 1/7 и обращению результата в периодическую дробь.
Как эти действия выполнить «в уме»?
Сначала выделите целую часть дроби 493/7 . Это будет 70; записывайте 70 как первые две цифры результата.
Остается дробь 3/7, иначе говоря, период дроби 1/7 (то есть 142 857), умноженный на 3. Известно (см. задачу 345), что в этом случае получается одна из круговых перестановок числа 142 857, следовательно, задача сводится к тому, чтобы определить первую цифру результата. Проще всего ее найти как первую цифру после запятой при делении 3 на 7; очевидно, это будет цифра 4. (Первую цифру результата можно определить и другим способом: по последней цифре произведения числа 142 857 на 3. Так как 3-7=21, то последняя цифра произведения 1; значит, первой цифрой искомого периода будет та, которая следует за цифрой 1 в числе 142 857, то есть 4.) Найденная цифра 4 определяет всю последовательность цифр периода: 428 571.
Продолжайте составлять искомый результат. К ранее записанным двум первым цифрам результата, то есть к 70, припишите справа 4285, а от 71, которое
заканчивает период, отнимите число. 70, образованное первыми двумя цифрами результата; это даст вам последние две цифры (01) искомого произведения 142 857 на 493.
Итак, окончательно,
142 857×493=70 428 501.
Этот пример устного умножения долго было описывать, выполнить же его можно действительно чрезвычайно быстро.
Уяснив сущность способа и попрактиковавшись (это будет хорошей умственной гимнастикой), вы можете поразить своих еще неосведомленных друзей быстротой счета.
Напишите на листке бумаги множимое 142 857, а товарищу предложите написать любой множитель из двух или трех цифр. После небольшого раздумья вы записываете готовый результат умножения.
Пусть предложено, например, умножить 142 857 на 816.
Устно преобразуем дробь 816/7; 816/7 = 116 4/7; запишем пока 116. Первая цифра следующей части результата 5 (как первая цифра после запятой в частном 4:7). Эта цифра определяет последовательность остальных: 571 428, но от последних цифр отнимаем ранее найденное 116 и остаток 571 312 приписываем к 116. Получается
142 857×816=116 571 312,
и ваши способности «необыкновенного счетчика» безусловно будут признаны.
Может так случиться, что множитель разделится на 7 и без остатка. Разберем этот случай на примере: 142 857×378. Имеем:
378/7 = 54=53 7/7;
первые цифры результата: 53. Произведение числа 142 857 на 7 состоит, как известно, из 6 девяток. Вычитаем устно 53 из 999 999 и приписываем разность справа от 53. Получаем:
142 857×378=53 999946.
