Цифры, соединяясь в числа и участвуя по нашей воле в математических действиях, образуют иной раз весьма причудливые и по-своему красивые числовые комбинации, напоминающие узоры снежинок на стекле окна.

I.             Взгляните на следующую страницу и вы увидите

самые обыкновенные действия умножения, выполненные

правильно, но своеобразно.

II.            Еще 8 произведений:

Множимое, множитель и произведение в каждом действии содержат 9 разных цифр.

III.          Равенства правильные, и обе стороны равенств

выражаются одними и теми же цифрами:

Придумайте аналогичные       красивые примеры.

IV.          Вот наши снежинки-цифры образовали произведение некоторого числа на сумму чисел, составленных

из его цифр: 37х(3+7). Вдруг первый множитель «растаял», а то, что осталось, обратилось в сумму кубов

38+78, и — представьте — результат не изменился:

Взгляните:   еще  одно  число   умножается   на   сумму чисел, составленных из его цифр:

48 х (4+8).

С ним происходит то же самое — первый множитель исчезает, остальное заменяется суммой кубов: 4³ + 8³ , а результат сохраняется:

48 х (4+8) =4³+8³. А вот сразу три аналогичных «узора»:

V. Две снежинки-цифры 1 и 6 образовали число 16=4²
.

Вдруг между цифрами 1 и 6 расположилась «снежинка» 15. Образовалось новое число 1156; оно не перестало быть квадратом:

1156=34² .

Вновь падает такая же «снежинка» 15 и попадает в самую середину записи числа 1156. Образовалось теперь число 111 556, которое по-прежнему остается точным квадратом:

111 556=334² .

Снежинка за снежинкой падают числа 15 и каждое метко попадает в центральную часть записи числа. Число от этого «удлиняется», но неизменно остается квадратом, сколько бы ни продолжался «цифропад»:

Процесс, по-видимому, происходит закономерно, но для полной уверенности в его закономерности следует, конечно, доказать, что всякое число, у которого n старших разрядов (где n — любое натуральное число), занято цифрой 1; n — 1 следующих разрядов занято цифрой 5,

а  последний  разряд,  разряд  единиц,  занят  цифрой  6, то есть число

является точным квадратом какого-то целого числа. Доказать это можно по-разному. Небольшая доля смекалки, и вы найдете сравнительно короткое доказательство утверждения, что при любом n число N будет точным квадратом    числа

Любопытно, что среди двузначных квадратных чисел есть еще только один «числовой кристалл» вида
аналогичный числу 16: пусть «снежинка» с цифрами а и b —1 «врастает» в самую середину его записи сколько угодно раз — каждое новое число будет точным квадратом.

Найдите это число

VI. По-другому растет «квадратный кристалл» 9. Запишем его как 09. «Снежинка», на единицу большая числа десятков, «прилипает» к «кристаллу» 09 в качестве первой цифры (слева), а «снежинка», на единицу меньшая числа единиц, «прилипает» в качестве предпоследней цифры. Получается 1089 — точный квадрат числа 33. Сколько бы процесс ни продолжался, «кристалл» будет оставаться   полным  квадратом:   110889=333²,   и  вообще

Так же растет и «кристалл» 36:

Имеются ли еще двузначные числа с таким свойством?

VII. Для  самостоятельного    решения   (без   ответов): докажите, что при любом целом и положительном n