314. Признак делимости на 11


Один из важнейших приемов решения задач таков: свести решение данной задачи к решению другой задачи, более простой.

Требуется, положим, установить: делится ли некоторое многозначное число на другое данное число? Для того чтобы ответить на этот вопрос, в ряде случаев совсем не надо прибегать к непосредственному делению данного числа. Очень часто оказывается, что решение поставленной задачи можно свести к выяснению делимости некоторого другого, не многозначного числа, составленного по тому или иному правилу из цифр данного числа. Так и возникают признаки делимости чисел.

Знаком ли вам, например, такой несложный признак делимости чисел на 11?

Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Если же указанные суммы цифр через одну не равны между собой и их разность не делится на 11, то и данное число не делится на 11.

Пример. Делится ли 3 528 041 на 11?

Применяем признак:

S1=3 + 2 + 0 + 1 = 6,

S2
= 5 + 8 + 4=17,

S2
– S1 = 11.

2—S1  делится на 11. Признак предсказывает: число 3528041 обязательно должно делиться на 11. Если потрудитесь выполнить деление непосредственно, то убедитесь в том, что признак вас не обманул.

Обосновать этот признак делимости нетрудно, если предварительно заметить, что числа такого вида, как, например,

10 + 1,

100 — 1,

1000  + 1,

10000 — 1,

100000 + 1 и т.д. делятся на 11.

рассмотрим сначала разности: 100—1 = 99, 10000—1 = 9999 и т. д.;

они записываются четным числом девяток и, следовательно, делятся на 11; делятся на 11 и все суммы указанно вида:

10 + 1 = 11,

1000 + 1=99 ∙ 10 + 11,

100000+1 = 9999 ∙ 10 + 11 и т. д.,

так  как каждая сумма разлагается на два слагаемых, каждый из которых делится на 11.

Обратимся теперь к установлению признака делимости на 11. Возьмем какое-нибудь многозначное число, например 3 516 282, и расчленим его следующим образом: 2 + 8 ∙ 10 + 2 ∙ 100 + 6 ∙ 1000 + 1 ∙ 10000 + 5 ∙ 100000 + 3 ∙ 1000000. Все вторые сомножители (единицы с нулями) преобразуем так, чтобы образовались рассмотренные выше суммы и разности: 10+1, 100—1 и т. д. Имеем:

3516282 = 2 + 8(10 + 1 —1) + 2 (100—1 + 1) + 6 (1000+ 1 — 1) +1 (10 000— 1 + 1) + 5(100000+1 —1) + 3(1000000—1 + 1)=  2 + 8(10+1) —8 + 2(100—1) + 2 + 6(1000 + 1) —6 + (10000 — 1) + 1 + 5(100 000+1) — 5+3(1000000—1)+3= (2 — 8 + 2 — 6+1 — 5 + 3) + [8(10 + 1) + 2(100 — 1) + 6 (1000 + 1) + (10000 —1) +5 (100 000+1) + 3(1000000—1)].

Все слагаемые, заключенные в квадратные скобки, непременно делятся на 11. Значит, делимость рассматриваемого числа на 11 полностью зависит от делимости на 11 числа, заключенного в первой круглой скобке: если оно делится (не делится) на 11, то и рассматриваемое число делится (не делится) на 11. Но в первой скобке записана разность сумм цифр данного числа через одну:

(2 + 2 + 1 + 3)(8 + 6 + 5) = –11.

Так как эта разность, равная — 11, делится на 11, то делится на данное число.

Если бы разность сумм цифр испытуемого числа через одну не делилась на 11, то не могло бы делиться на 11 и испытуемое число. В самом деле, рассмотренный пример показывает прием, при помощи которого можно любое целое число (N) расчленить на два слагаемых (х и у), N=х+у, так, что одно из них (х) непременно делится на 11, а другое (у) представляет собой разность сумм цифр испытуемого числа через одну.

Ясно, что если оба слагаемых х и у делятся на 11, то N также делится на 11, если же х делится на 11, а у не делится, то и N не делится.

Обратно, если N и х делятся на 11, то должно делиться на 11 и у; если же N не делится на 11, а х делится, то у не может делиться на 11.

Так, решение вопроса о делимости любого многозначного числа на 11 сводится к более легкому выяснению делимости на 11 разности сумм цифр числа через одну.

Загрузка...